房产证写的母亲的名字，父亲很早去世了，母亲有没有权利把房子只给她其中一个子女而不给其他子女？

你这个问题比较复杂，一个个解答。
① 购房时，父亲和儿子各掏了一半房款，最后房屋写父亲的名字。此时产生了第一个法律争议。儿子掏的房款是赠与，还是借贷，还是共同购买。从母亲说“让儿子把以前没有掏的房款补上就把房子给他”来看，母亲认为应该是共同购买。因此，从字面陈述上看。儿子拥有房屋产权50%，父亲拥有房屋产权50%。只不过父亲是公示出来的权利人，而儿子是隐藏的权利人而已。
② 父亲去世后，父亲拥有的50%作为遗产，应当向父母、配偶、子女予以分配。此时，母亲直接把该遗产变更为自己名下，其他权利人长期知情而没有表示反对。从不完全意义上，可以认为其他人放弃了自己的继承权。（当然，可能也可以认为其他人是没有公示的权利人。我不认可却没有找出法律依据）而此时，儿子作为原本的50%的隐藏的权利人，其权利并没有变更。
③ 如果此时母亲去世，则房屋的50%产权应当作为遗产应当分配，其他子女依法获得继承权。
④ 母亲口头说把房子给儿子，其他子女没有权利反对，因该50%的份额已经变更到母亲。其作为权利人，有权处分自己的财产。但是，口头承诺容易导致举证困难，这个是需要注意的。
⑤ 儿子如果掏了剩下的50%房款，则是向母亲购买了50%的房款。如④所述，因母亲是该50%房产的权利人，有处分权，因此没有问题。

产权人先是父亲，后来给了母亲，产权人的变更是合法有效的，所以产权人有权自由处理自己的房产，他人不得干涉（除非受赠人存有恶意）涉及到房款有一半是儿子出的，而受赠人也是儿子时，那么他人也就无权反对了。此时的房子并不是遗产

如果有确切证据证明儿子出了一半钱，那么房子有儿子一半，其余的所有子女平分。