已知函数f(x)=9^x-3^x+1+c(其中c是常数) （1）若存在x∈[0,1],使f(x)<0成立,求实数c的取值范围 （2）若存

令y=3^x 则x∈[0,1]相当于y∈[1,3],
f(x)可转化为g(y)=y^2-y+1+c
(1)由于g(y)的对称轴y=1/2<1
所以有g(1)<0且g(3)<0
解之得c<-7

(2)相当于g(y)在区间y∈[1,3]上至少有一点使g(y)<0
由于g(y)开口向上且对称轴y=1/2<1
所以有g(1)<1
即c<-1

(3)相当于g(y)=y^2-y+1+c=cy在区间y∈[1,3]上有且仅有一个实数根
即h(y)=y^2-y+1+c-cy满足
判别式△=(-1-c)^2-4(1+c)=0
且(1+c)∈[1,3]
或
△=(-1-c)^2-4(1+c)>0
h(1)*h(3)<0
c>7/2
解之得c=3或c>7/2

这道题换元即可。设t=3^x，则f(x)=9^x-3^x+1+c=t^2-t+1+c，t>0。
x∈[0,1]，则t∈[1,3]，f(x)=(t-0.5)^2+0.75+c，此时函数范围[0.75+c,7+c]
(1)与(2)小题一样： f(x)<0，则7+c<0，c<-7；
(3) 方程f(x)=c·3^x变成t^2-(c+1)t+1+c=0，在[0,1]上有唯一实数解，t范围[1,3]。
令f(t)=t^2-(c+1)t+1+c，则f(1)*f(3)≤0即可。
则：c≥7/2

换元法 令t等于3的x次方 转化成二次函数最值问题 可结合图像 数形结合

设t=3^x，则f(x)=9^x-3^x+1+c=t^2-t+1+c，t>0。
x∈[0,1]，则t∈[1,3]，f(x)=(t-0.5)^2+0.75+c，此时函数范围[0.75+c,7+c]
(1)与(2)小题一样： f(x)<0，则7+c<0，c<-7；
(3) 方程f(x)=c·3^x变成t^2-(c+1)t+1+c=0，在[0,1]上有唯一实数解，t范围[1,3]。
令f(t)=t^2-(c+1)t+1+c，则f(1)*f(3)≤0即可。
则：c≥7/2