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若fx在x0点连续，那么fx的绝对值在x0也连续，这句话对不对，求解释

2024-12-28 16:42:03

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回答1：

这句话正确。

证明：

对于任意临域ε>0内，存在δ>0，当|x-x0|<δ，使得|f(x)-f(x0)|<ε；
对于|f(x)|，则有 |f(x)|-|f(x0)|<|f(x)-f(x0)|<ε，
同时，|f(x0)|-|f(x)|<|f(x0)-f(x)|<ε，|f(x)|-|f(x0)|>-|f(x0)-f(x)|>-ε。
联立可得，-ε<|f(x)|-|f(x0)|<ε，即||f(x)|-|f(x0)||<ε。所以，|f(x)|在x=x0处连续。

回答2：

正确：以下用定义证明
对于任意ε>0，存在δ>0，当|x-x0|<δ，使得|f(x)-f(x0)|<ε；
对|f(x)|，则有|f(x)|-|f(x0)|<|f(x)-f(x0)|<ε
同时|f(x0)|-|f(x)|<|f(x0)-f(x)|<ε，|f(x)|-|f(x0)|>-|f(x0)-f(x)|>-ε
联立得-ε<|f(x)|-|f(x0)|<ε，即||f(x)|-|f(x0)||<ε。故|f(x)|在x=x0处连续。