高一数学题：已知x∈【-3，2】，求f(x)=1⼀4^x-1⼀2^x+1的最大值与最小值

解：令m=1/2^x=2^(-x)，是定义域上的减函数。
则：x∈【-3，2】时，m∈【1/4，8】。
二次函数 f(x)=g(m)=m^2-m+1=(m-1/2)^2+3/4，
当m=1/2时，函数有最小值： g(m)=3/4，
此时x=1；
当m=8时，函数有最大值：g(m)=57，
此时x=-3。
所以函数f(x)=1/4^x-1/2^x+1的最大值与最小值分别为：57，3/4。

换元 1/2^x=t ∵x∈《-3，2》 指数函数单调性 ∴ t∈《1/4，8》
f(x)=g(t)=t2-t+1 二次函数单调性
最小值fmin=g（1/2）=3/4
最大值fmax=g（8）=57

解答：
f(x)=1/4^x-1/2^x+1
=(1/2^x-1/2)^2+3/4
df/dx=2(1/2^x-1/2)(-1/4^x)*2^x*ln2=0
当1/2^x-1/2=0,x=1,f(x)min=3/4
-1/4^x=0,和2^x*=0均不成立。
即函数f(x)=1/4^x-1/2^x+1只有一个拐点。
在定义域内的极值，只能从其增减性考察。
当x<1,f(x)=1/4^x-1/2^x+1为递减函数，故在x=-3时其必有极值，f(-3)max1=57,
当x>1,f(x)=1/4^x-1/2^x+1为递增函数，故在x=2时其必有极值，f(2)max2=13/16,
综合以上各结果，可知：f(x)=1/4^x-1/2^x+1在x∈[-3,2]的最大值为57，最小值3/4

f(x)=(1/4)^x-(1/2)^x+1
设(1/2)^x=t＞0
f(x)=t^2-t+1=(t-1/2)^2+(3/4)
当x∈[-3，2]时，最大值：x=-3，t=8 f(x)=73
最小值：t=1/2 f(x)=3/4