高数，曲面积分，例60题，答案第一部，为什么显然∫∫(z+1)dxdy=0 ？

∑显然垂直于xoy面，

所以（z+1）dxdy=0

是因为对坐标的曲面积分Σ在xoy面的投影为一条曲线，所以面积微元dxdy为0，与被积函数z+1无关

因为Σ是锥面z＝
x2+y2
(0≤z≤1)的下侧，不是封闭曲面，
故首先添加一曲面Σ1：

z＝1
x2+y2≤1

，取上侧，使Σ+Σ1构成封闭曲面，并记其所围区域为Ω．
则

∬

xdydz+2ydzdx+3(z−1)dxdy
=
∬
∑+∑1
xdydz+2ydzdx+3(z−1)dxdy-
∬
∑1
xdydz+2ydzdx+3(z−1)dxdy．
利用柱面坐标系计算可得，

∬
∑+∑1
xdydz+2ydzdx+3(z−1)dxdy
=
∭
Ω
(1+2+3)dxdydz
=6
∫
2π
0

dθ
∫
1
0

rdr
∫
1
r

dz
=12π
∫
1
0

r(1−r)dr
=2π．
而
∬
∑1
xdydz+2ydzdx+3(z−1)dxdy=0，
所以
∬

xdydz+2ydzdx+3(z−1)dxdy=2π-0=2π．

李永乐的红皮书里面的吧

李永乐的书是真不咋地，一点也不详细