当二元一次不定方程ax+by=c可解时，它有负整数解的条件．得到了如下这个结论：设a，b都为正整数，c为负整数，(a , b)=1，那么当c＜－(ab－a－b)时，二元一次不定方程ax+by=c (1)有负整数解，负整数解的个数等于－[c／(ab)]－1或－[c／(ab)]，当c≥ab－a－b时，2元1次不定方程(1)无负整数解．
二元一次方程；互质；最大公约数；整数解
不定方程整数解的问题,由来已久,早在五世纪末,我国数学家张丘建著的《算径>中就有号称世界名题“百鸡问题” 本问题记载于中国古代约5—6世纪成书的《张邱建算经》中，是原书卷下第38题，也是全书的最后一题：“今有鸡翁一，值钱伍；鸡母一，值钱三；鸡鶵三，值钱一。凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、鶵各几何？答曰：鸡翁四，值钱二十；鸡母十八，值钱五十四；鸡鶵七十八，值钱二十六。又答：鸡翁八，值钱四十；鸡 母十一，值钱三十三，鸡鶵八十一，值钱二十七。又答：鸡翁十二，值钱六十；鸡母四、值钱十二；鸡鶵八十 四，值钱二十八。”该问题导致三元不定方程组，其重要之处在于开创“一问多答”的先例，这是过去中国古算书中所没有的。而解多元不定方程的基础是解二元一次不定方程，所有下面就是讨论二元一次不定方程整数解的方法。
1二元一次不定方程的定义及定理
1.1二元一次不定方程定义
如果一个方程含有两个未知数，并且所含未知项的次数是1，那么这个整式方程就叫做二元一次方程，有无穷个解,若加条件限定有有限个解。二元一次方程的一般形式：ax+by+c=0其中a、b不为零。这就是二元一次方程的定义。x+y=1是一个典型的二元一次不定方程
1. 2二元一次方程有关定理 定理1 设二元一次不定方程 ax+by=c(1)
(其中a,b,c是正整数，且a,b都不是0)有一整数解x= x0，,y= y0;又设(a,b)=d,a=a d,b=b d，则（1）的一切解可以表成 x=x
-b t,y=y
+at
其中t=0,±1,±2,…
定理2 （1）式有整数解的充分与必要条件是（a,b）|c. 证 因为x0，y0是方程①的整数解，当然满足
ax0+by0=c， ②
因此
a(x0-bt)+b(y0+at)=ax0+by0=c．
这表明x=x0-bt，y=y0+at也是方程①的解． 设x＇，y＇是方程①的任一整数解，则有
ax＇+bx＇=c. ③
③-②得
a(x＇-x0)=b＇(y＇-y0)． ④
由于(a，b)=1，所以a｜y＇-y0，即y＇=y0+at，其中t是整数．将y＇=y0+at代入④，即得x＇=x0-bt．因此x＇， y＇可以表示成x=x0-bt，y=y0+at的形式，所以x=x0-bt，y=y0+at表示方程①的一切整数解，命题得证．
有了上述定理，求解二元一次不定方程的关键是求它的一组特殊解．
2二元一次不定方程的解法
2.1二元一次方程的解
使二元一次方程两边相等的一组未知数的值，叫做二元一次方程的一个解. 对二元一次方程的解的理解应注意以下几点：
①一般地，一个二元一次方程的解有无数个，且每一个解都是指一对数值，而不是指单独的一个未知数的值；
②二元一次方程的一个解是指使方程左右两边相等的一对未知数的值；反过来，如果一组数值能使二元一次方程左右两边相等，那么这一组数值就是方程的解； ③在求二元一次方程的解时，通常的做法是用一个未知数把另一个未知数表示出来，然后给定这个未知数一个值，相应地得到另一个未知数的值，这样可求得二元一次方程的一个解。
2.2辗转相除
研究二元一次不定方程，要解决下面三个问题：
1.整数解的存在问题。这一问题见《初等数论》定理。方程ax+by=c（a、b、c均为整数，ab≠0）有整数解的充要条件是：(a，b)/c。这一定理充分性的证明就是用辗转相除法求出方程整数解的过程，这就解决了方程ax+by=c，（a，b）/c时有整数解的问题。否则，当(a，b)×c时（×不能整除），不定方程无整数解。
2.整数解的个数问题。不定方程有整数解，则它有无穷多个解，并且它的无穷多个解可以用二元一次不定方程的通解公式表示。即定理2。设不定方程ax+by=c，［a，b，c为整数，且(a，b)=1］有一个整数解（x0，y0）则它的全部整数解可表示 x=x +bt x=x
-bt
y=y
-at 或 y=y
+at （t为任意整数） 3.求出全部整数解。从二元不定方程的通解公式中可以看出，求二元一次不定方程的整数解的关键就是求出它的一个特解（x0，y0）。
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