证明：设集合S为完全有界集对任意x,y∈S，存在半径为r(r>0)的开球A和B，使x∈A，y∈B由于开球数量有限，不妨令开球数=N，开球A、B的中心分别为x'和y'则d(x,y)<=d(x-x')+d(y-y')+Nr<=(N+2)r因为(N+2)r是个大于0的常数，所以完全有界集S是有界集。
