51问答网 > 已知数列{an}中，Sn是它的前n项和，且Sn+1=4an+2，a1=1（n∈N*）．（1）设bn=an+1-2an，求数列{bn}的通项

已知数列{an}中，Sn是它的前n项和，且Sn+1=4an+2，a1=1（n∈N*）．（1）设bn=an+1-2an，求数列{bn}的通项

2025-03-07 06:21:43

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回答1：

解答：（1）解：当n=1时，S₂=a₁+a₂=4a₁+2，解得a₂=5．
∵S_n+1=4a_n+2，a₁=1（n∈N^*）．
∴当n≥2时，a_n+1=S_n+1-S_n=4a_n+2-（4a_n-1+2），
化为a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1），
∴b_n=2b_n-1．
b₁=a₂-2a₁=3．
∴数列{b_n}是等比数列，b_n=3?2^n-1．
（2）证明：c_n+1-c_n=

an+1

2n+1

-

an

2n

=

an+1?2an

2n+1

=

3?2n?1

2n+1

=

3

4

，
∴数列{c_n}为等差数列，c₁=

a1

2

=

1

2

．
∴c_n=

1

2

+

3

4

(n?1)=

3n?1

4

．
（3）解：由（2）可得an＝2n?cn=（3n-1）?2^n-2．
∴a₁=1，a₂=5，a₃=16，a₄=44，a₅=112．
∴S₅=1+5+16+44+112=178．