A,B为同阶正定矩阵，怎样证明A+B正定？

2025-03-10 11:13:44

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回答1：

【解答】
因为A，B正定，则 AT=A，BT=B，且 xTAx＞0，xTBx＞0
（A+B）T=AT+BT=A+B，对称矩阵
xT(A+B)x = xTAx+xTBx ＞ 0
所以A+B正定。

【评注】
证明矩阵A正定，首先要证明AT=A
正定的【充分必要】条件条件有：
1、特征值大于0
2、与E合同
3、存在可逆矩阵B，A=BTB
4、正惯性指数为n
5、各阶顺序主子式均大于0
6、对于任意x≠0，xTAx＞0

newmanhero 2015年3月13日22:06:15

希望对你有所帮助，望采纳。

回答2：

因为 A，B都是正定矩阵
所以对任意n维列向量 x≠0, x'Ax>0, x'Bx>0
所以 x'(A+B)x = x'Ax + x'Bx >0
所以 A+B 是正定矩阵.

回答3：

很显然嘛，根据X^T(A+B)X>=0就得到A+B正定