51问答网 > 1，4，9，16…这些数可以用图1的点阵表示，古希腊毕达哥拉斯学派将其称为正方形数，记第n个数为an+1，在

1，4，9，16…这些数可以用图1的点阵表示，古希腊毕达哥拉斯学派将其称为正方形数，记第n个数为an+1，在

2025-01-04 05:29:59

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回答1：

（Ⅰ）由正方形数的特点知an＝n2，
由二项式定理的性质，杨辉三角形第n行n个数的和为：
Sn

＝C

=2^n-1，
∴T_n=S₁+S₂+…+S_n
=1+2+2²+…+2^n-1
=2ⁿ-1．
（Ⅱ）a2＝4，T2＝22?1＝3，∴a₂＞T₂．
a3＝9，T3＝23?1＝7，∴a₃＞T₃．
a4＝16，T4＝24?1＝15，∴a₄＞T₄．
a5＝25，T5＝25?1＝31，∴a₅＜T₅．
∴2≤n≤4时，a_n＞T_n．
猜想2≤n≤4时，a_n＞T_n．n≥5时，a_n＜T_n．
证明：2≤n≤4时，a_n＞T_n，已证明．
下面用数学归纳法证明n≥5时，a_n＜T_n．
①当n=5时，a5＝25，T5＝25?1＝31，∴a₅＜T₅．成立．
②假设n=k（k≥5，k∈N^*）时，猜想成立，即ak＜2k，∴k²＜2^k-1．
则Tk+1＝2k+1?1＝2?2k?1
=2（2^k-1）+1
＞2k²+1=k²+k²+1
＞k²+2k+1=（k+1）²，
∴n=k+1时，猜想也成立．
由①②知n≥5时，a_n＜T_n．