考研数学 二重积分 极坐标系

你孤立的看待了r的取值范围，而没有考虑到r的取值范围与θ的关系。你所说的r的范围是在θ=π/4时的，你可以和直角坐标系下的二重积分相比较一下，这样会更好的理解。
如果您还有不明白的地方，欢迎继续向我沟通！
我觉得您对重积分没有理解好，所以恕我拙见谈谈我对其的理解，若有错误敬请斧正。
和直角坐标系下的二重积分一样。关键是第一重积分的上下限的确定（因为第二重的上下限为常数），它的上下限要与下一重（在多重积分中，要与下面的所有重的被积分数建立联系）的被积分数建立联系。那这道题为例，咱们一起思考一下，r的取值下限和θ有什么联系呢？（我们知道极坐标其实就是一个绕原点转动的线段，线段的长度为r，顺时针旋转到与x轴同方向的转角为θ）我们可以清楚的发现在被积区域内，无论这条线段怎么旋转，它的长度的最小值始终为0，也就是说r的下限为0，是吧？如果没有疑问的话，进行下一个环节----确定r的上限 。也是让这条线段以原点为中心在被积区域内旋转，求它长度的最大值。有什么发现？是不是它长度的最大值随着它旋转的角度θ而改变呢？可不可以列一个θ的函数关系式表示r的最大值呢，如果可以那么该函数关系式就是r的上限。下面就确定一下用θ表示r的最大值，θ从0变到π/4时、r的最大值可以表示成2asinθ，θ从π/4变到π/2时、最大值可以表示成2acosθ。既然上限的表达式不唯一那么就需要分开两部分求积了。

楼主啊，你并没有绕进牛角尖，而是还没有理解啊。我只是希望你看一下我上面的写的东西，你所说的D2中0≤r≤2asinθ，D1中0≤r≤2acosθ，分别是D2和D1时r的最大值吗？D1是θ在0至π/4时的区域，D2是θ在π/4到π/2时的区域这点你没啥异议吧！我上面说过θ从0变到π/4时也就是D1时、r的最大值可以表示成2asinθ，为什么呢？因为D1的边界是由上面的圆x^2+y^2=2ay（r=2asinθ）的边界构成的。如果还没想明白，请看下一段。如果明白的话，那么恭喜你解决了一个问题。
我继续用上面所说的线段做例子线段的一段固定在原点另一端只有在D1的边界上（也就是上面的圆x^2+y^2=2ay（r=2asinθ）的边界）才能保证线段长度最长即r的值最大。

答：

当θ=π/4时，2asinθ=√2a。

如果是0<=r<=√2a的话，区域是如图以(0,0)为圆心，半径为√2a的圆：

是这么回事，x,y轴不是直径嘛，你把P点和别两个圆在X，Y轴上的交点连接起来，构成一个直角三角形，斜边长不就是2a嘛。在两个不同的圆中OP当然就是2asinθ，2acosθ了

对ln(1 x的平方 y的平方)dxdy求二重积分, 其中D为x的平方 y的平方

图中分成两段是正确的，换成极坐标，和直角坐标没多少差别，也就是看θ和r的变化范围。θ从θ1变到θ2时，r从里面曲线变到外面曲线。此题θ从0变到π/4时，外面曲线不同，因此要分成两段。
第一段：x^2+y^2=2ay,r^2=2arsinθ,r=2asinθ,即r可从0变到2asinθ
第二段：x^2+y^2=2ax,r^2=2arcosθ,r=2acosθ,即r可从0变到2acosθ