运筹学--杨超 主编
P4：例1 资源分配问题。
某工厂近期要安排生产甲，乙两种产品，产品甲需要用原料A，产品乙需要用原料B，由于两种产品都在一个设备上生产，且设备工时有限，管理者必须合理安排两种产品的产量，使得在资源有限的条件下获得最大利润。因此这个问题的决策目标是利润的最大化，研究者根据这一目标需要收集以下有关数据：
1） 工厂两种原料存量以及可用设备工时。
2） 甲，乙两种产品每单位产品需要的原料和设备工时。
3） 甲，乙两种产品的单位产品利润。
这些数据可以通过调研或估算得出，如表1.1所示。
甲 乙 资源限制
原料A 1 0 6
原料B 0 2 8
设备 2 3 18
单位利润（百元） 4 3
P5 例2 成本效益平衡问题
某饲料公司希望用玉米，红薯两种原料配置一种混合饲料，各种饲料包含的营养成分和采购成本都不相同，公司管理层希望能够确定混合饲料中各种原料的数量，使得饲料能够以最低的成本达到一定的营养要求。研究这根据这一目标收集到的有关数据如下（见表1.2）。
营养成分 每公斤玉米 每公斤红薯 最低要求
碳水化合物 8 4 20
蛋白质 3 6 18
维他命 1 5 16
采购成本（元） 0.8 0.5
P6 例3 物流网络配送问题。
某物流公司需将甲，乙，丙三个工厂生产的一种新产品运送到A，B两个仓库，甲，乙两个工厂的产品可以通过铁路运送到A，数量不限；丙工厂的产品可以通过铁路运送到B，同样，产品数量不限。由于铁路运输成本较高，公司也可考滤由独立的卡车运输，可将多达80个单位的产品由甲，乙，丙三个工厂运送到一个配送中心，再从配送中心以最多90 单位的载货量运到各个仓库。公司管理层希望以最小成本来运送所需的货物。
为了建立该问题的数学模型，首先必须了解这一网络配送问题的活动与要求，该问题涉及到三个产品的生产及各条线路上产品的运输问题，由于产量已经给定，决策的重点是运输活动水平，即通过每一条线路的运输量。首先需要收集每条线路上的单位运输成本和各工厂的产品产量以及各仓库分配量等问题，如表1.3所示。
终点
起点 配送中心 仓库A 仓库B 运输量
工厂甲 ￥3.0 ￥7.5 100
工厂乙 ￥3.5 ￥8.2 80
工厂丙 ￥3.4 ￥9.2 70
配送中心 ￥2.3 ￥2.3
需求量 120 130 250
为了更清楚地说明这个问题，我们用一个网络图来表示该网络配送问题（见图1.1）。图中节点v1，v2，v3表示甲，乙，丙三个工厂，节点v4表示配送中心，节点v5，v6表示两个仓库；每一条箭线表示一条可能的运输线路，并给出了相应的运输成本，对运输量有限制的线路的最大运输能力也同时给出。
第一章习题
6（P16）、某人喜欢吃土豆和牛肉，决定用这两种食物配午餐，为保证有足够的营养且较低的成本，他进行调查后收集的有关数据如表1.6所示。
成分 每单元包含的营养成分 每餐人体最低需求
牛肉 土豆
碳水化合物 5 15 50
蛋白质 15 4 36
脂肪 10 3 30
单位成本 15 3
（1） 建立线性规划模型，以确定如何配餐，既满足需求又使成本最低。
（2） 用图解法，求解此线性规划问题。
P17 练习题8 公司为增加其产品的市场分额决定对其生产的三种产品A，B，C分别进行广告宣传，广告形式有电视广告和印刷煤体广告两种，管理科学小组经过大量调查得出A，B，C产品不同广告形式，每单元广告增加时常分额，广告单位成本和各产品市场分额需要增加的最小量如表1.8所示。
产品 单元广告增加的市场分额 需要的最小增加量
电视 印刷煤体
A 1% 1.5% 5%
B 3% 2.5% 20%
C -1.5% 3% 4%
单位成本 3万元 5万元
公司管理层希望以最小的成本来实现产品市场分额的增加，试建立次问题线性规划的模型。
P17 练习题9 某钢厂在两个矿井A1，A2采矿石，采出的矿石将运往两个存储装置S1，S2，需要时再从存储装置运往钢厂，图1.7显示出这一配送网络，同时给出了每个矿井的日产量和工厂的日需求量以及每条线路每日的最大运输能力
管理层希望做出运输计划，使得通过配送网络将矿石从矿井运到工厂的运输能最经济的方式实现。
P18 练习题12
某公司需要确定其甲，乙两种产品的生产量，市场调查表明，产品甲每月可以买出400件，产品乙每月可以买出100件；而生产一件产品需要8个工时，生产一件产品乙需要四个工时，甲，乙两产品的单位利润分别为48元，和30元，该公司每月总工时数目为3000，一个经销商已经同意如果产量不超过市场调查的最大数量将购买所有产品，试建立线性规划模型来安排生产，使获例最大，并用图解法求解。
第二章
P32 例一 农场灌溉问题。
某公司有四个农场，每个农场的耕地作物需要用水灌溉，因灌溉条件限制，农场的最大水资源供应量有一定限制，各农场的总耕地面积与最大水资源供应量如图表2.1所示。该地区适合种植的农作物有棉花，玉米和高粱，三种农作物每中作物每单位种植面积的净收入和耗水量以及每种作物最大允许种植面积如表2.2所示。由于水资源短缺，公司须统一调配水资源，为了保持公正，规定每个农场受灌溉面积占农场总耕地面积的比例相同，公司管理层面临的决策问题还是如何确定各农场种植作物的面积，使得在满足以上各种限制的条件下，公司总收入最大。
表2.1：
农场 耕地面积（亩） 最大水资源供应量（吨）
1 4000 6000
2 6000 9000
3 5000 5500
4 4500 5000
表2.2：
作物 单位种植面积收入（元） 单位面积耗水量（吨） 最大允许种植面积（亩）
棉花 800 2 6000
玉米 600 1.5 5500
高粱 450 1 5000
（P33） 例2 证券投资问题。
一证券投资者将1000万元资金用于证券投资，已知各种证券（A，B，C，D，E，F）的级评，到期年限，每年税后收益如表所示。
证券名称 证券类型 级评 到期年限 每年税后收益（%）
A 地方债券 2 9 4.3
B 基金 2 12 4.4
C 国债 1 5 3.2
D 国债 1 4 3.0
E 地方债券 4 3 3.2
F 基金 5 4 4.5
管理层对该投资这提出下列要求：
（1） 国债投资额不能少于300万元。
（2） 投资证券的平均不超过1.5。
（3） 投资证券的平均到期年限不超过5年。
问：每种证券投资多少可以使得税后收益最大？
（P36） 例3 话务员排班问题。
某寻呼公司雇用了多名话务员工作，他们每天工作3节，每节三小时，每节开始时间为午夜，凌晨三点钟，凌晨六点钟，上午九点，中午十二点，下午三点，六点，九点，为方便话务员上下班，管理层安排每位话务员每天连续工三节，根据调查，对于不同的时间 ,由于业务量不同，需要的话务员的人数也不相同，公司付的薪水也不相同，有关数据见表2.4。
工作时间 0~3点 3~6点 6~9点 9~12点 12~15点 15~18点 18~21点 21~0点
最低需求人数（人） 8 6 15 20 25 23 18 10
薪水（元） 26 30 28 22 20 20 22 24
问如何安排话务员才能保证服务人数，有使成本最低？
（P37） 例4 多阶段生产安排问题。
南方机电制造公司为全国各地生产一种大型机电设备，按照公司的订单合同，不久要交付使用一定数量的机电设备，所以有必要制定为期6个月的设备生产计划。根据合同，公司必须在未来六个月中每个月底交付一定数量的机电设备，由于原料价格，生产条件，保修和维修工作等安排不同，每月的生产能力和生产成本也不同，当然，可以在成本较低的月份生产多一些设备，但在供给客户之前必须存放，需要付一定的存储费用。管理层需要制定一个逐月生产计划，使生产和存储的总成本达到最小。管理科学小组通过调查收集到每单位生产成本，每月单位存储费，每月需求量，最大生产能力等数据（见表2.7）。
表2.7
月份（i） 月底需求量di（台） 最大生产能力li(台) 单位生产成本ci（台） 单位存储成本hi(千元) 最大存储fi(台)
1 10 20 2.1 0.2 10
2 16 30 2.0 0.25 12
3 20 26 2.3 0.23 6
4 14 28 2.4 0.24 10
5 25 30 2.1 0.2 8
6 23 30 2.6 0.2 0
（P40） 例5 营养配料问题。
某食品公司考虑用西红柿，菠菜，梨，洋葱，马铃薯，黄豆，小萝卜，胡萝卜等食品来配餐，要求配置后的食品要满足一定的维生素含量（这里只考虑VA，VB，VC三种维生素）。配餐中的各种食品的维生素含量以及单位成本等数据如表2.8所示。
表2.8
营养物 西红柿 菠菜 梨 洋葱 马铃薯 黄豆 小萝卜 胡萝卜 需要量
VA 8 8 6 4 7 4 5 2 70
VB 2 5 4 5 1 1 2 1 60
VC 1 2 1 3 3 2 1 4 30
价格 7 5 4 5 5 6 8 5
公司管理层希望以最小的成本配置成满足维生素需要量的食品。
第二章练习题
P（42） 1. 某公司生产一种新的合金，其成分为40%的铝，30%铁，30%的铜，这些原料从另外一些可获得的合金中得到，这些合金的成本及单位成本如表2.9。表2.9
成分（%） 合金
1 2 3 4 5 6
铝 60 25 30 40 30 40
铁 20 35 20 25 40 50
铜 20 40 50 35 30 10
单位成本（元） 100 80 75 85 94 95
公司希望确定各种原料合金的比例，以最地的生产成本制成新的合金。
（1） 在电子表格上建立线型规划模型并求解。
（2） 写出此问题的线型规划模型的代数形式。
第六章 运输问题
例 1 （P128）A1、A2两煤矿产的煤运往B1、B2、B3三个城市销售，各煤矿的供应量、各城市的需求量以及煤矿与城市之间的单位运费如表6.1所示，试列出其数学规划模型。
表6.1
B1 B2 B3 供应量（t）
A1
A2
需求量（t） 90
80
100 70
65
150 95
75
180 200
230
6.3.2(P141) 一些应用
例7 某汽车发动机制造厂拟计划生产一批发动机来满足未来四个月汽车安装的需要。为了给出最优的进度安排，使总成本最小，有关人员以收集数据，如表6.8所示。
每个月生产一定数量的发动机，没有安装完的入库保存。加班的单位生产成本高于正常的时间生产成本。这样，成本由生产成本和库存成本两部分构成。试为该问题寻找最优进度方案，是总成本最小。
表6.8
月份 计划安装量 最大产量 单位生产成本（元） 单位库存成本（元）
正常时间 加班时间 正常时间 加班时间
1
2
3
4 15
20
10
25 25
20
15
10 10
10
5
15 4800
5100
5000
5300 5000
5200
5100
5500 150
150
150
——
例 8（P144）某市拟开办第三所小学，需要为该市内的所有小学重新划定服务区域，该市大致分6个城区，每一城区内小学生数量以及到个小学的近似距离见表6.10.学校的招生数量视具体情况可在一定范围内变动。服务区域的划分目标是使学生到学校的平均距离最短。试求最优规划方案。
表6.10
距离学校距离（公里） 学生数量
1 2 3
1
2
3
4
5
6 1.1
1.2
1.3
0.5
2.2
1.6 1
0.7
2
1.9
0.8
1.3 1.6
1.8
1.4
0.6
2.6
1.5 400
300
350
300
400
350
最小招生数 600 700 300
最大招生数 900 1000 700
第八章 整数规划
例1 （P163）钻石切割问题
某宝石加工厂最近新到6粒大小、质量等级相似的钻石毛料，管理有两种选择，一是切割磨成一般的皇冠形，每粒可获利2.5千元；一是切磨成虽然较难切磨但当前市场较流行的心形，每粒可获利4千元。若切磨成心形则每粒需要9个工作日，由于工厂切工师傅较忙，最多只有4粒毛料可以切磨成皇冠形，而6粒毛料中任何一粒都可以切磨成心形。那么，管理层应如何决策才能使这批钻石获利最大？
例 2 （P180）分公司选址问题。
某销售公司打算通过在武汉或长春建立分工司（也许在两个城市都设分公司）增加市场份额，管理层同时也计划在新设分公司的城市最多建一个配送中心，当然也可以不建配货中心。经过计算，每种选择对公司收益的净值列在表8.6的第四列、第五列中记录了每种选择所需的费用，总的预测费用不得超市过20万元。目标是在满足以上约束的条件使总的净现值最大。
表8.6
决策编号 问题 决策变量 净现值（万元） 所需资金（万元）
1
2
3
4 是否在长春建分公司？
是否在武汉建分公司？
是否在长春建配送中心？
是否在武汉建配送中心？ X1
X2
X3
X4 18
10
12
8 12
6
10
4
例 3 （P183） N个约束中选K个约束的问题
因为资金和管理水平的限制，某公司想以相同的价格和不同的租期（工时）租赁另一公司甲、乙、丙、丁四个车间中的两个，来生产五种新开发的产品（命名为：A、B、C、D、E）中的最多三种。每种产品在生产过程中要分解成生产难度相似的两个阶段（对于每个车间来说，生产任一阶段所用的工时都是相同的），要求在不同的车间生产，所以一件产品需要两个车间的合作才能完成。由于两个车间的机床和工人的经验不同，生产不同产品的效率也不同，导致不同的产品（任一阶段）在不同的车间生产所用的工时数不同（据生产部的初步试验和经验判断估计出的数据见表8.7）。另外，根据公司市场部的预测，每种产品的单位利润和在租期内最大的销售量以及各车间在租期内的总工时数等数据也列在表8.7中。
表8.7
单位产品（阶段）的生产工时（小时） 租期内总工时数（小时）
产品A 产品B 产品C 产品D 产品E
车间
甲
乙
丙
丁 5
7
4
3 8
11
9
7 4
3
3
5 9
10
8
9 7
7
6
5 180
230
170
165
单位利润（百元）
最大销售量（件） 11
21 14
25 8
23 15
15 9
18
问车间管理层应如何选择车间和产品，才能使租期内所获得的利润最大？
例4 （P189）固定成本问题和约束有N个可能值问题。
某工厂近期接到一批订单，要安排生产甲、乙、丙、丁四种产品，每件产品分别需要原料A、B、C中的一种或几种中的若干单位，合同规定要在十五天内完成，但数量不限。由于四种产品都在一种设备上生产，且生产设备同一时间只能加工一件产品。目前，工厂只有一台正在使用中的这种设备（暂叫设备1），合同期内可挤出3天来生产这批订单，但是会产生150元的机会成本损失;还有一台长期未用的设备（设备2）可以启用，启用时要做必要的检查和修理，费用是1千元；公司还考虑向邻厂租用两台这种设备（设备3和设备4），由于对方也在统筹使用设备，租期分别只能是7天和12天，而且租期正好在合同期内，租金分别是2000和3100元，工厂可决定租一台或两台，或者一台也不租。另外，每种产品如果生产的话会有固定成本和变动成本，这些数据加上每种产品所需的原料种类或数目、各种原料的可用数量以及制造每种产品所要的工时数和每种产品的单位价格都是已知的（见表8.8）。假设每天工作8小时（意味着四个设备的可用台时分别为24、120、56、96），并且假设工厂最多使用这四台设备中的3台。
表8.8
产品 资源限制
甲 乙 丙 丁 设备1 设备2 设备3 设备4
原料A
原料B
原料C 4
2
3 6
0
8 9
4
0 0
1
5 156
94
183
设备台时（小时） 5 7 3 8 24 120 56 96
固定成本（元） 350 400 180 310 150 1000 2000 3100
变动成本（元） 12 14 16 11 —— —— —— ——
单位产品价格（元） 120 160 135 95 ——
问：人工厂如何安排这四种产品的产量和利用哪种设备，使得在上述资源限制的条件下获得的利润最大？
例5（P193） 营销总监的安排
D公司准备向华中、华南、华北和东北四区各派一位营销总监，现有4位人选，他们分别是张、王、李、赵，由于他们对各地区的文化、市场、媒体等熟悉程度不同（详细数据见表8.9）。问：如何将这四位总监安排到各大区域中才能使总的预期效益最大？
表8.9（单位：百元）
1 2 3 4
华中 华南 华北 东北
1
2
3
4 张
王
李
赵 12
8
6
4 7
10
5
4 11
8
6
9 10
9
12
8
例6 （P195） 营销总监安排的变形问题。
假如例5中D公司4位营销总监的月薪分别是2.5、2.1、1.8、1.6万元，若D公司想将业务范围扩大到西北和西南，现在公司想在6个区中筹建销售分公司，考虑到张先生业务最熟练，他可以最多负责三个区的建设，王先生的业务比较熟练，他最多可以负责两个区的分工司的建设。为了避免多头领导，每个地区只派一个营销总监进行筹集工作。表8.10是各位营销总监在不同地区建分公司预计所用时间（单位：月）。问：如何指派各位营销总监去建设各区的销售分公司才能使总工资成本最低？
表8.10
所用筹建时间（月） 月薪（万元）
1华中 2华南 3华北 4东北 5西北 6西南
营
销
总
监 1张
2王
3李
4赵 3
3.5
4
5 4
4
5.5
6 3.5
3
5
7 6
8
6
5 4
6
4
5 8
7
9
7.5 2.5
2.1
1.8
1.6
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