运用拉格朗日数乘法求曲面上一点到平面的最短距离 求详细解答

令 F(x1, y1, x2, y2, z1, z2, u, v) = (x1 - x2)^2 + (y1 - y2)^2 + (z1 - z2)^2 - u (2 + x1^2 + y1^2 - z1^2) - v (-1 + x2 - 2 y2 + 3 z2)。

根据题目条件，z1>0的实数解：

分别为 -(1/Sqrt[2]), Sqrt[2], 1/14 (1 - 9 Sqrt[2]), 1/7 (-1 + 9 Sqrt[2]), 3/Sqrt[2], 3/14 (1 + 5 Sqrt[2]), 1/14 (-4 + Sqrt[ 2]), 1/7 (1 - 2 Sqrt[2])，此时，(x1 - x2)^2 + (y1 - y2)^2 + (z1 - z2)^2 = 1/14 (9 - 4 Sqrt[2])，所以最近距离是 (2sqrt(2) - 1)/sqrt(14)。

联立方程式

Fλ = g(x, y) = 0

Fx = fx (x, y) + λgx (x, y) = 0

Fy = fy (x, y) + λgy (x, y) = 0

求得的解 (x, y) 就成为极值的候补。

这样求极值的方法就叫做拉格朗日乘数法、λ叫做拉格朗日乘数。

简单粗暴地：

令 F(x1, y1, x2, y2, z1, z2, u, v) = (x1 - x2)^2 + (y1 - y2)^2 + (z1 - z2)^2 - u (2 + x1^2 + y1^2 - z1^2) - v (-1 + x2 - 2 y2 + 3 z2)
求对各个未知数的偏导数，确定8元方程组
-2 u x1 + 2 (x1 - x2) == 0,
-2 u y1 + 2 (y1 - y2) == 0,
-v - 2 (x1 - x2) == 0,
2 v - 2 (y1 - y2) == 0,
2 u z1 + 2 (z1 - z2) == 0,
-3 v - 2 (z1 - z2) == 0,
-2 - x1^2 - y1^2 + z1^2 == 0,
1 - x2 + 2 y2 - 3 z2 == 0
根据题目条件，z1>0的实数解：
x1, y1, x2, y2, z1, z2, u, v
分别为 -(1/Sqrt[2]), Sqrt[2], 1/14 (1 - 9 Sqrt[2]), 1/7 (-1 + 9 Sqrt[2]), 3/Sqrt[2], 3/14 (1 + 5 Sqrt[2]), 1/14 (-4 + Sqrt[ 2]), 1/7 (1 - 2 Sqrt[2])
此时，(x1 - x2)^2 + (y1 - y2)^2 + (z1 - z2)^2 = 1/14 (9 - 4 Sqrt[2])
所以最近距离是 (2sqrt(2) - 1)/sqrt(14)