求下列齐次线性方程组的一个基础解系和通解

x1+x2+x3+x4=0;2x1+x2+3x3+5x4=0;x1-x2+3x3-2x4=0;3x1+x2+5x3+6x4=0

2024-12-15 12:40:27

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回答1：

系数矩阵 A=

[1 1 1 4]

[2 1 3 5]

[1 -1 3 -2]

[3 1 5 6]

行初等变换为

[1 1 1 4]

[0 -1 1 -3]

[0 -2 2 -6]

行初等变换为

[1 1 1 4]

[0 1 -1 3]

[0 0 0 0]

行初等变换为

[1 0 2 1]

[0 1 -1 3]

[0 0 0 0]

方程组同解变形为

x1=-2x3-x4

x2=x3-3x4

得基础解系 (-2, 1, 1, 0)^T, (1, 3, 0, -1)^T,

通解为 x =k(-2, 1, 1, 0)^T+c(1, 3, 0, -1)^T,

其中 k，c 为任意常数。

简介：

基础解系是指方程组的解集的极大线性无关组，即若干个无关的解构成的能够表示任意解的组合。基础解系需要满足三个条件：

(1)基础解系中所有量均是方程组的解。

(2)基础解系线性无关,即基础解系中任何一个量都不能被其余量表示。

(3)方程组的任意解均可由基础解系线性表出，即方程组的所有解都可以用基础解系的量来表示。值得注意的是：基础解系不是唯一的，因个人计算时对自由未知量的取法而异。

回答2：

系数矩阵 A=
[1 1 1 1]
[2 1 3 5]
[1 -1 3 -2]
[3 1 5 6]
行初等变换为
[1 1 1 1]
[0 -1 1 3]
[0 -2 2 -3]
[0 -2 2 3]
行初等变换为
[1 1 1 1]
[0 1 -1 -3]
[0 0 0 -9]
[0 0 0 -3]
行初等变换为
[1 0 2 4]
[0 1 -1 -3]
[0 0 0 1]
[0 0 0 0]
同解方程变为
x1 +4x4=-2x3
x2-3x4=x3
x4=0
取 x3=1，得基础解系 (-2, 1, 1,0)^T
通解为 x=k(-2, 1, 1,0)^T,
其中 k 为任意常数。