100分悬赏一个几何问题，望高手解答！若能解决，另有100分重谢！

你的问题我现在回答不了，但是我的思路可能对你有帮助。

从你给出的存在性点集的构造方法中可以看出，利用k1,k2,k3,构造出基本三边形，然后在任意一条边上或者其延长线上取定第一个点，然后作平行于k1,k2，k3,的直线，交基本三边形的上或其延长线上，等到一共6个点。这6个点就是满足要求的点集。
其实基本三边形就是你要求的点集，只不过不是普通意义下满足要求。通过三边形的每一个顶点，只有2个斜率，如果认为自身存在第三个斜率就成了，每一个点都可以和自身构造成任意斜率的直线。那么从这个角度看，n个点的最小点集就是n。如果抛开自身构造直线，不同于自身的点自然需要2n个。而且这些点都存在于三边形的延长线上，每个边上2个。一共2n。而且6边形的对边是平行的。

对于4个点的情况，可以以正8边形为例，它的所有对角线和边组成的斜率大于4个，是满足要求的。如果是一般情形的8边形，在对边相互平行的情况下，每个点天然存在2个斜率，那么另外的2个斜率就必须从它的对角线里面获得，那么就要要求至少2条对角线必须和另外2个对边平行。这样的构造好像不存在。

感觉问题的解决，需要抽象几何的概念，比如任意两点满足要求的斜率，就认为两点之间存在一条直线，反之认为两点不在一条直线上。或者利用抽象代数里面群的概念，存基本形开始，进行扩展。同时射影几何的方法可能更加直接，有帮助，不知道这个问题是否和帕普斯定理有关系，或者考虑无穷远点可能看问题更加深刻一些。利用一般线性空间中的基与相关性，不知道怎么看。

总体上数学水平有限，算是抛砖引玉吧。