讨论柯西古萨基本定理、柯西积分公式、高阶导数公式及留数定理四者关系

柯西积分定理
复变函数论的核心定理
。
它讨论一个区域D上的复函数在什么条件下在D上积分与路径无关
，
最简单的柯西积分定理的形式为：当D是单连通区域
，而f（z）是D上的解析函数时，以下3个互相等价的结论成立
：
①
f（z）
在D内沿任意可求长曲线积分与路径无关。②f（
z
）在
D内沿任意可求长闭曲线积分为零。③f（z
）在D上有原函数
。
如果在连续函数类中讨论，则以上定理还是可逆的。柯西定理有以下常用的变化的形式
：①D
是由几条简单光滑闭曲线围成的有界区域，记L＝D，f（z）在D上解析，在Image:柯西积分定理1.在DUL上连续，则必有
②在上述条件下
，若
L＝L0＋…＋L即D由L0，，…，L所围成，
作为柯西积分定理的应用，有同样可作为解析函数充要条件的柯西积分公式：f（z）在上连续
，在D内解析的充要条件是。
。柯西积分公式是证明一系列解析函数重要性质的工具，首先是证明了圆盘上的解析函数一定可展为幂级数
，从而证明了
A.-L.柯西与K.魏尔斯特拉斯关于解析函数两个定义的等价性
，其次证明了解析函数是无限次可微的，从而其实部与虚部也是无限次可微的调和函数。柯西积
分定理
已推广到沿同
伦曲线或沿同调链
积分的形式。柯西积分公式在多复变函数中也有许多不同形式.
简单的说，定义如下：
设C是一条简单闭曲线，函数f（z）在以C为边界的有界区域D内解析，那么有:
f(z)对曲线的闭合积分值为零。
（注:f(z）为复函数）
（上述定义直接证明是比较困难的
在加上f(z)的导数在c上连续这个条件后，黎曼于1851年运用格林公式给出了简明的证明过程
1900年古萨给出了正式的证明）
U是单连通的条件，意味着U没有“洞”，例如任何一个开圆盘U
=
{z:
|
z
−
z0
|
<
r}都符合条件，这个条件是很重要的，考虑以下路径
它是一个单位圆，则路径积分
不等于零；这里不能使用柯西积分定理，因为f(z)
=
1/z在z
=
0处没有定义。
该定理的一个重要的结果，是在单连通域内全纯函数的路径积分可以用类似于微积分基本定理的方法来计算：设U是C的一个单连通开子集，f
:
U
→
C是一个全纯函数，并设γ是U内的一个分段连续可微分的路径，起点为a，终点为b。如果F是f的一个复数倒数，则
从柯西积分定理可以推导出柯西积分公式和留数定理。