怎样推出线段垂直平分线的判定定理

①利用定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线是线段的垂直平分线

②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．（即线段垂直平分线可以看成到线段两端点距离相等的点的集合）。

线段的垂直平分线定理也就是线段垂直平分线的性质，是证明两线段相等的常用方法之一．同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件。

到线段两个端点距离相等的所有点组成了线段的垂直平分线，也就是线段的垂直平分线可以看做是和这条线段两个端点的距离相等的点的集合。

三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心。

扩展资料

逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 

证明：如图1，已知直线MN上任意一点P，PA=PB，MN是AB的垂直平分线，证明：P在MN上

解：∵MN是AB的垂直平分线

∴AN=NB

∵PA=PB ，PN=PN

∴△PAN和△PBN全等

∴∠PNA=∠PNB=90°

由于过平面上一点，有且仅有一条直线与已知垂线垂直，故P在MN上

∴该逆定理得证

参考资料来源：百度百科-垂直平分线

线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 。

证明如下：

设点C是线段AB外的一点，且AC=BC，求证：点C在AB的垂直平分线上。

证明：

过点C作CD⊥AB于D，

则∠ADC=∠BDC=90°，

在Rt△ADC和Rt△BDC中，

∵AC=BC，CD=CD，

∴Rt△ADC≌Rt△BDC（HL），

∴AD=BD，

∵CD⊥AB，

∴CD是线段AB的垂直平分线，

∴点C在AB的垂直平分线上。

垂直平分线的性质：

1.垂直平分线垂直且平分其所在线段.

2.垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等.

3.三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等.

垂直于一条线段并且平分这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线(就是定义)

从一个角的顶点引出一条射线,把这个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的角平分线.

线段垂直平分线的判定定理：

到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。

证明如下：

设点C是线段AB外的一点，且AC=BC，求证：点C在AB的垂直平分线上。

证明：

过点C作CD⊥AB于D，

则∠ADC=∠BDC=90°，

在Rt△ADC和Rt△BDC中，

∵AC=BC，CD=CD，

∴Rt△ADC≌Rt△BDC（HL），

∴AD=BD，

∵CD⊥AB，

∴CD是线段AB的垂直平分线，

∴点C在AB的垂直平分线上。