数形结合思想

【例题分析】
例1.
若关于
的方程
的两根都在
之间，求
的取值范围。
分析：令
，其图象与
轴交点的横坐标就是方程
的解，由
的图象可知，要使二根都在
之间，只需
同时成立，解得
，故
例2.
解不等式
常规解法：原不等式等价于（i）
或（ii）
解（i）得
；解（ii）得
综上可知，原不等式的解集为
数形结合解法：令
，则不等式
的解就是使
的图象在
的上方的那段对应的横坐标。
如下图，不等式的解集为
，而
可由
解得
，故不等式的解集为
例3.
已知
，则方程
的实根个数为（
）
a.
1个
b.
2个
c.
3个
d.
1个或2个或3个
分析：判断方程的根的个数就是判断图象
的交点个数，画出两个函数图象，易知两图象只有两个交点，故方程有2个实根，选b。
例4.
如果实数
满足
，则
的最大值为（
）
a.
b.
c.
d.
分析：等式
有明显的几何意义，它表坐标平面上的一个圆，圆心为
，半径
，而
则表示圆上的点
与坐标原点（0，0）的连线的斜率，如此以来，该问题可转化为如下几何问题：动点
在以（2，0）为圆心，以
为半径的圆上移动，求直线
的斜率的最大值，由下图可见，当点
在第一象限，且与圆相切时，
的斜率最大，经简单计算，得最大值为
例5.
已知
满足
的最大值与最小值。
分析：对于二元函数
在限定条件
下求最值问题，常采用构造直线的截距的方法来求之。
令
，原问题转化为：在椭圆
上求一点，使过该点的直线斜率为3，且在
轴上的截距最大或最小，由图形知，当直线
与椭圆
相切时，有最大截距与最小截距。
由
，得
，故
的最大值为13，最小值为
。
例7.
点
是椭圆
上一点，它到其中一个焦点
的距离为2，
为
的中点，
表示原点，则
（
）
a.
b.
c.
4
d.
8
分析：（1）设椭圆另一焦点为
，（如下图），则
而
又注意到
各为
的中点
是
的中位线
（2）若联想到第二定义，可以确定点
的坐标，进而求
中点的坐标，最后利用两点间的距离公式求出
，但这样就增加了计算量，方法较之（1）显得有些复杂。
例8.
已知复数
满足
，求
的模与辐角主值的范围。
分析：由于
有明显的几何意义，它表示复数
对应的点到复数
对应的点之间的距离，因此满足
的复数
对应的点
在以（2，2）为圆心，半径为
的圆上，（如下图），而
表示复数
对应的点
到原点
的距离，显然，当点
，圆心
，点
三点共线时，
取得最值，
的取值范围为
同理，当点
在圆上运动变化时，当且仅当直线
与该圆相切时，在切点处的点
的辐角主值取得最值，利用直线与圆相切，计算，得
，即
即