51问答网 > 设A为n阶方阵，A*为A的伴随矩阵，证明： n,r(A)=n r(A*)= 1,r(A)=n-1 0,r(A)<n-1

设A为n阶方阵，A为A的伴随矩阵，证明： n,r(A)=n r(A)= 1,r(A)=n-1 0,r(A)<n-1

2025-01-06 05:22:34

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回答1：

当 R(A)=n时,有A可逆，|A|≠0，由
AA* = |A|E，说明A*可逆，R(A*)=n

当r(A)=n-1时，有A不可逆，|A|=0所以
AA* = |A|E=0,所以r(A*)<=n-r(A)=1。
而矩阵A的秩为n-1,所以说在A中的n-1阶子式中至少有一个不为0，所以A*中有元素不为0，即A*≠0，r(A*)>=1。
所以 r(A*)=1

当r(A)所以r(A*)=0

回答2：

数一的复习全书，408页有详细证明。