解：
1.△PCD是等边三角形
∵OM⊥PC，ON⊥PD
所以弧AP=弧AC，弧BP=弧BD
∵弧AP=弧BP
∴弧PC=弧PD
∴PC=PD
∵∠AOB=120°
∴∠P=60°
∴△PCD是等边三角形
根据垂径定理可得，M是PC的中点，N是PD的中点
∴MN=1/2CD
2.MN的长度不变
根据题意可得，MN是△PCD的中位线
∴MN=1/2CD
1、连接OP
P是弧AB中点
∠MOP=∠NOP
∵OP=OP
∠OMP=∠ONP=90°
∴△OMP≌△ONP
所以PM=PN
∵PM垂直OA于M，PN垂直OB于N。
∴PC=2PM=2CM,PD=2PN=2ND
∴PC=PD
三角形CPD是等腰三角形
∠NOM=120°,∠OMP=∠ONP=90°
∠MPN=60°
三角形CPD是等边三角形
连接MN
∵PM=CM,PN=DN
∴MN‖CD，2MN=CD
(2)由（1）可知当P不一定是弧AB中点时
∠MPN=60°，2MN=CD仍然成立
过C点作直径CE，连接DE
∠CDE=90°，∠E=∠CPD=60°
所以CE=2DE
CD=(√3/2)CE即MN=(1/2)CD=(√3/4)CE
CE是圆的直径
∴MN的长度不随P点的位置变化
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