数学，一平方加二平方一直加到n平方，请问如何推出规律？

Sn=1²+2²+....+n²， 是用立方来求和的。

记Tn=1+2+...+n=n(n+1)/2

由立方差公式：(n+1)³-n³=3n²+3n+1

代入n=1, 2, ...,n得：

2³-1³=3*1²+3*1+1

3³-2³=3*2²+3*2+1

...

(n+1)³-n³=3n²+3n+1

以上n个式子相加得：

(n+1)³-1=3Sn+3Tn+n

化简即得：Sn=n(n+1)(2n+1)/6

扩展资料

常见数列求和的方法：

1、公式法：

等差数列求和公式:

Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/2 

等比数列求和公式：

Sn=na1(q=1)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an×q)/(1-q) (q≠1)

2、错位相减法

适用题型：适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式 { an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.

Sn=a1b1+a2b2+a3b3+...+anbn 

例如：an=a1+(n-1)d bn=a1·q^(n-1) Cn=anbn Tn=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4.+anbn 

qTn= a1b2+a2b3+a3b4+...+a(n-1)bn+anb(n+1) 

Tn-qTn= a1b1+b2(a2-a1)+b3(a3-a2)+...bn[an-a(n-1)]-anb(n+1) 

Tn(1-q)=a1b1-anb(n+1)+d(b2+b3+b4+...bn) =a1b1-an·b1·q^n+d·b2[1-q^(n-1)]/(1-q) Tn=上述式子/(1-q)

3、裂项法

适用于分式形式的通项公式,把一项拆成两个或多个的差的形式,即an=f(n+1)－f(n),然后累加时抵消中间的许多项。

Sn=1²+2²+....+n²， 是用立方来求和的。
记Tn=1+2+...+n=n(n+1)/2
由立方差公式：(n+1)³-n³=3n²+3n+1
代入n=1, 2, ...,n得：
2³-1³=3*1²+3*1+1
3³-2³=3*2²+3*2+1
...
(n+1)³-n³=3n²+3n+1
以上n个式子相加得：
(n+1)³-1=3Sn+3Tn+n
化简即得：Sn=n(n+1)(2n+1)/6

记Tn=n²+(n-1)²+....+2²+1²，
数列Sn=n³-(n-1)³，则S(n-1)=(n-1)³-(n-2)³,..........,S2=2³-1³,
Sn=2n²+(n-1)²-n，将以上n-1个数列等式相加可得：
n³-1=[2n²+(n-1)²-n]+[2(n-1)²+(n-2)²-(n-1)]+.......+[2*2²+1²-2]
=2[n²+(n-1)²+....+2²]+[(n-1)²+(n-2)²+....+1²]-[n+(n-1）+.....+2]
=2(Tn-1)+[Tn-n²]+1-n(1+n)/2,
(注，此处Tn-1中n是下标，1是自然数，即Tn- 1,切误以为n-1是项数)。
求得Tn=n(2n+1)(n+1)/6.

1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
n^2=n(n+1)-n
1^2+2^2+3^2+…+n^2=1*2-1+2*3-2+...+n(n+1)-n
=1*2+2*3+..+n(n+1)-(1+2+3+..+n)
而n(n+1)=1/3(n(n+1)(n+2)-n(n+1)(n-1))
所以上述=1/3（1*2*3-1*2*0+2*3*4-1*2*3+3*4*5-2*3*4+...+n(n+1)(n+2)-n(n+1)(n-1)）-n(n+1)/2=1/3n(n+1)(n+2)-n(n+1)/2=1/6n(n+1)(2n+4)-1/6n(n+1)*3=n(n+1)(2n+1)/6

前N项平方和公式 啊， 查找百度百科，文库，有详解