已知关于x的方程x的平方-(2k+1)x+4(k-1⼀2)=0 (1)求证：这个方程总有两个实数根

证明过程如下：

证明：已知方程x²-（2k+1）x+4（k-1/2）=0

根据一元二次方程根的判别式公式：△=（-（2k+1））²-4*1*4（k-1/2）

则，△=4k²-12k+12=4（k²-3k+3）

=4（k-3/2）²+3

由于（k-3/2）²≥0，则4（k-3/2）²+3≥3＞0

即判别式△＞0

因此可以证明该方程一定有两个实数根。

扩展资料：

1、一元二次方程判别式

对于一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），则根的判别式公式为：△=b²-4ac。

（1）当△=b²-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根。

（2）当△=b²-4ac＝0时，方程有两个相等的实数根。

（3）当△=b²-4ac＜0时，方程没有实数根。

2、一元二次方程的求解公式

对于一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），当判别式△=b²-4ac≥0时，方程的求解公式为：

x=（-b±√（b²-4ac））/（2a）。

参考资料来源：百度百科-一元二次方程

1.
x²-(2k+1)x+4(k-1/2)=0
△=(2k+1)²-16(k-1/2)
=4k²-12k+9
=4(k²-3k+9/4)
=4(k-3/2)²≥0
∴这个方程总有两个实数根
2.
①若a是底边长，则b=c
即△=4(k-9/2)²=0，k=3/2，
根据根与系数关系(韦达定理)得
b+c=2k+1=4=a ，所以不满足 （因为b+c>a）
②若a是腰长，设令一腰为b=a=4
把一根4代入方程，得k=5/2
根据根与系数关系(韦达定理)得
b+c=2k+1=6>a，
c=2
C=a+b+c=10

1） Δ=[-(2k+1)]^2-4×4(k-1/2)
=(2k-3)^2
≥0
所以无论k取何值,这个方程总有实数根

(3)等腰三角形ABC的边长a=4
若b=a=4或c=a=4
代入方程：16－4（2k+1）+4(k-1/2)=0
解得：k=5/2
方程为x^2－6x+8=0.
解得c=2或b=2
三角形ABC的周长=4+4+2=10
若b=c
方程x^2-(2k+1)x+4(k-1/2)=0有两相等的实数根b,c
Δ=[-(2k+1)]^2-4×4(k-1/2)＝0
解得：k=3/2
方程为x^2－4x+4=0
解得b=c=2
三角形ABC的周长=4+2+2=8

x²-(2k+1)x+4(k-1/2)=0
△=(2k+1)²-16(k-1/2)
=4k²-12k+9
=4(k²-3k+9/4)
=4(k-3/2)²≥0
∴这个方程总有两个实数根

①若a是底边长，则b=c
即△=4(k-9/2)²=0，k=3/2，
根据根与系数关系(韦达定理)得
b+c=2k+1=4=a ，所以不满足 （因为b+c>a）
②若a是腰长，设令一腰为b=a=4
把一根4代入方程，得k=5/2
根据根与系数关系(韦达定理)得
b+c=2k+1=6>a，
c=2
C=a+b+c=10