高等数学不定积分换元法

2024-12-19 13:45:39

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回答1：

首先你要懂得导数的运算公式，求不定积分是求导的逆过程
∫ x/(1 + x²) dx
= ∫ 1/(1 + x²) • (x dx)
= ∫ 1/(1 + x²) d(x²/2)
这里其实是对x求积分的，即x dx ~ ∫ x dx = x²/2 + C ~ d(x²/2 + C) = d(x²/2)，C在求导后变为0
或者用导数容易理解，就是(x²/2)' = d(x²/2)/dx = 1/2 • 2x = x
变为微分形式就是d(x²/2) = x dx

再次根据求导的原理
由于任何常数的导数都是0
d(C)/dx = 0 ==> d(C) = 0
而d(Cx)/dx = C • dx/dx = C ==> d(Cx) = C • dx
再进一步，d(Ax + B)/dx = (A + 0) = A ==> d(Ax + B) = A • dx
于是d(u + 1)/du = (u + 1)' = 1，u + 1对u求导
得出d(u + 1) = du，两边乘以du即可，这是微分形式