概率论并不仅仅是用来算算概率的。有些时候，概率论远比我们想象中的更强大。
考虑这样一个问题。考虑集合X上的一个集合族，集合族中的所有集合大小均为d。我们说这个集合族是可以二染色的，如果对X的元素进行适当的红蓝二着色之后，每个集合里面都包含了两种颜色的元素。例如，当d=3时，{1,2,3}, {1,2,4}, {1,3,4}, {2,3,5}就是可二染色的，把1、2染成红色，把3、4、5染成蓝色，则每个集合里都含有两种颜色。是否存在d=3的不可二染色集族呢？这样的集族当然是存在的，例如取集合{1,2,3,4,5}的全部C(5,3)个元素个数为3的子集，则无论如何染色，总会有一个集合里面的元素全是一种颜色。上述推理立即告诉我们，对于一个给定的d，一定存在一个集合个数为C(2d-1, d)的不可二染色集族。这个数目还能再少吗？我们想知道，不可二染色集族中的集合个数最少可以少到什么地步。一个极其简单的证明给出了一个下界：集族的大小一定大于2^(d-1)。当d=3时，你一辈子也不能构造一个不可二染色集族，里面只含4个集合。
为了证明这一点，不妨对X中的所有元素进行随机着色，每个元素取成红色和蓝色的概率均等。那么，一个元素个数为d的集合中，所有元素均为一种颜色的概率就应该是1/2^(d-1)。如果集族内的集合个数只有不到2^(d-1)个，那么即使“集合中是否只有一种颜色”是互相独立的，这些事件的并（至少有一个集合内只有一种颜色）的概率也不超过2^(d-1) * 1/2^(d-1) = 1，何况这些事件还不是独立的，因此存在单色集合的概率必然小于1。这个概率值小于1说明什么？这说明，“至少有一个单色集合”并不是必然事件，一定有一种染色方案使得每个元素里都含两种颜色，换句话说该集族可以被二染色。
在自然界和现实生活中,一些事物都是相互联系和不断发展的.在它们彼此间的联系和发展中,根据它们是否有必然的因果联系,可以分成截然不同的两大类：一类是确定性的现象.这类现象是在一定条件下,必定会导致某种确定的结果.举例来说,在标准大气压下,水加热到100摄氏度,就必然会沸腾.事物间的这种联系是属于必然性的.通常的自然科学各学科就是专门研究和认识这种必然性的,寻求这类必然现象的因果关系,把握它们之间的数量规律.
另一类是不确定性的现象.这类现象是在一定条件下,它的结果是不确定的.举例来说,同一个工人在同一台机床上加工同一种零件若干个,它们的尺寸总会有一点差异.又如,在同样条件下,进行小麦品种的人工催芽试验,各棵种子的发芽情况也不尽相同,有强弱和早晚的分别等等.为什么在相同的情况下,会出现这种不确定的结果呢?这是因为,我们说的“相同条件”是指一些主要条件来说的,除了这些主要条件外,还会有许多次要条件和偶然因素又是人们无法事先一一能够掌握的.正因为这样,我们在这一类现象中,就无法用必然性的因果关系,对个别现象的结果事先做出确定的答案.事物间的这种关系是属于偶然性的,这种现象叫做偶然现象,或者叫做随机现象.
在自然界,在生产、生活中,随机现象十分普遍,也就是说随机现象是大量存在的.比如：每期体育彩票的中奖号码、同一条生产线上生产的灯泡的寿命等,都是随机现象.因此,我们说：随机现象就是：在同样条件下,多次进行同一试验或调查同一现象,所的结果不完全一样,而且无法准确地预测下一次所得结果的现象.随机现象这种结果的不确定性,是由于一些次要的、偶然的因素影响所造成的.
随机现象从表面上看,似乎是杂乱无章的、没有什么规律的现象.但实践证明,如果同类的随机现象大量重复出现,它的总体就呈现出一定的规律性.大量同类随机现象所呈现的这种规律性,随着我们观察的次数的增多而愈加明显.比如掷硬币,每一次投掷很难判断是那一面朝上,但是如果多次重复的掷这枚硬币,就会越来越清楚的发现它们朝上的次数大体相同.
我们把这种由大量同类随机现象所呈现出来的集体规律性,叫做统计规律性.概率论和数理统计就是研究大量同类随机现象的统计规律性的数学学科.
概率论的产生和发展
概率论产生于十七世纪,本来是又保险事业的发展而产生的,但是来自于赌博者的请求,却是数学家们思考概率论中问题的源泉.
早在1654年,有一个赌徒梅累向当时的数学家帕斯卡提出一个使他苦恼了很久的问题：“两个赌徒相约赌若干局,谁先赢 m局就算赢,全部赌本就归谁.但是当其中一个人赢了 a (a
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