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设X1=a>0,Y1=b>0,X(n+1)=(Xn*Yn)^1⼀2,Y(n+1)=(Xn+Yn)⼀2,求证Xn和Yn收敛于同一个数

2024-12-13 17:55:38

推荐回答（3个）

回答1：

先证明Xn是单调递增，Yn是单调递减。
然后由均值不等式知，Xn<=Yn
故知Xn单调递增有上界b，Yn单调递减有下界a。
故Xn和Yn都是收敛数列。
然后对X(n+1)=(Xn*Yn)^1/2两边取极限得证。（这里X（n+1）的极限等于X（n）的极限）
geiwofen

回答2：

先证明Xn是单调递增，Yn是单调递减。
然后由均值不等式知，Xn<=Yn
故知Xn单调递增有上界b，Yn单调递减有下界a。
故Xn和Yn都是收敛数列。
然后对X(n+1)=(Xn*Yn)^1/2两边取极限得证。（这里X（n+1）的极限等于X（n）的极限）

回答3：

证明：y(n+1)-x(n+1)=1/2(xn+yn-2√xnyn)=1/2(√yn-√xn)²＜1/2*（√yn-√xn）*（√yn+√xn）=1/2*(yn-xn);
同理：yn-xn＜(1/2)的（n-1）次方*（y1-x1）;
当n趋于无穷时，yn-xn≤0;
又yn>0,xn>0,yn-xn=1/2*(√yn-1-√xn-1)的平方≥0；
所以得证！