求微分方程(x-siny)dy+tanydx=0的通解，有一个疑问

具体回答如下：

(x-siny)dy+tanydx=0

xcosydy+sinydx-sinycosydy=0（等式两端同乘cosy）

d(xsiny)-d((siny)^2/2)=0

xsiny-(siny)^2/2=C （C是常数）

x=siny/2+C/siny

原方程的通解是x=siny/2+C/siny

微分方程的特征：

求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，一旦求出通解的表达式，就容易从中得到问题所需要的特解。

也可以由通解的表达式，了解对某些参数的依赖情况，便于参数取值适宜，使它对应的解具有所需要的性能，还有助于进行关于解的其他研究。

后来的发展表明，能够求出通解的情况不多，在实际应用中所需要的多是求满足某种指定条件的特解。当然，通解是有助于研究解的属性的，但是人们已把研究重点转移到定解问题上来。

求微分方程(x-siny)dy+tanydx=0的通解

解：P=tany；Q=x-siny；由于∂P/∂y=sec²y≠∂Q/∂x=1；∴此方程不是全微分方程。

但因为 H(y)=(1/P)(∂P/∂y-∂Q/∂x)=(1/tany)(sec²y-1)=(1/tany)•(tan²y)=tany是y的函数

故有积分因子μ：

用积分因子μ=cosy乘原方程两边得：[xcosy-sinycosy]dy+sinydx=0

此时P=siny;   Q=xcosy-sinycosy；由于∂P/∂y=cosy=∂Q/∂x，故是全微分方程。

∴其通解u:

【检验】du=(∂u/∂x)dx+(∂u/∂y)dy=sinydx+(-cosysiny+xcosy)dy

=sinydx+cosy(x-siny)dy=cosy[tanydx+(x-siny)dy]=0

即有(x-siny)dy+tanydx=0这就是原方程，故完全正确。

你也真的是脑子一下转不过来是吗？书上给的是含有y以及dy/dx的方程，那是因为y是因变量，你求出来的东西是y=f(x)。现在我把自变量和因变量换一下，自变量是y，因变量是x，给了dx/dy，那解出来就是x=g(y)这种结构呗，有什么难的？数学题换一个字母你就不会写了？

不就是xy映射颠倒成yx映射吗，
逆个向就不会了?
那你把x用Y，y用X替代了再看