高数，二重积分换元法。∫∫f(Aa+by+c)=.....看图

本题主要考点为二重积分的换元法。

积分区域是一个圆，内部的点可以表示为（r，θ）
0≤r≤1,0≤θ≤2π
该点的微面积dS=rdθdr（代替dxdy）
x=rcosθ，y=rsinθ
dx=cosθdr-rsinθdθ，dy=sinθdr+rcosθdθ
dxdy=sinθcosθ（dr）²+rcos²θdrdθ-rsin²θdrdθ-r²sinθcosθ（dθ）²
=0.5sin2θ（dr）²-0.5r²sin2θ（dθ）²+rcos2θdrdθ
∫∫f（arcosθ+brsinθ+c）rdθdr
=∫∫f（r√（a²+b²）[a/√（a²+b²）.cosθ+b/√（a²+b²）.sinθ]+c）rdθdr
设a/√（a²+b²）=sinφ，b/√（a²+b²）=cosφ，0≤φ≤2π，是常数。
=∫∫f（r√（a²+b²）[sinφcosθ+cosφsinθ]+c）rdθdr
=∫∫f（r√（a²+b²）sin（θ+φ）+c）rdθdr
令u=rsin（θ+φ）
=∫∫f（u√（a²+b²）+c）rdθdr
du=sin（θ+φ）dr+rcos（θ+φ）dθ
=（u/r）dr+r√（1-u²/r²）dθ
rdθ=[du-（u/r）dr]/√（1-u²/r²）
=[du-sin（θ+φ）dr]/cos（θ+φ）
=sec（θ+φ）du-tan（θ+φ）dr
rdθdr=sec（θ+φ）dudr-tan（θ+φ）drdr