高等数学重积分的应用 求由曲面z=x눀+y눀，z=根号下（2-x눀-y눀）所围成的立体的表面积

首先，这两个方程，以找到两个平行表面相交的曲线。通过消去z与，我们得到：
2-X 2 = X 2 2 Y 2

即

×2 + Y 2 = 1

因此，该曲线是一个半径的圆柱形表面。所以x和集成y的限制，很容易找到：X 2 + Y 2 = 1

要查找的Z积分限，我们只需要知道其中两个表面之上，这是低于。因为封装在气缸内的容积，所以要求使x 2 + Y 2 ×2 2 Y 2，即Z = 2×2在上面的，Z =×2 2以下的Y 2。

根据上面的讨论，我们可以写出体积积分：

ν=∫∫∫DXDY _（×2 +2 Y 2）^（2×2）DZ 在这里，我的符号_（×2 +2 Y 2）为了表达对低积分，^（2×2）限制Z积分表达式。 （请记住整合XY限制的圆形×2 + Y 2 = 1。）

积分用于z容易：

∫_（×2 +2 Y 2）^（2×2 ）DZ =（2×2） - （×2 +2 Y 2）= 2-2X 2-2Y 2

剩下的就是对双点在xy。

ν=∫∫（2-2X 2-2Y 2）DXDY

这个积分在极坐标系中最容易做的。为极坐标，X 2 + Y 2 = R 2，DXDY =rdrdφ。为r的信用额度从0到1，φ从0到2π。

ν=∫∫（2-2X 2-2Y 2）DXDY =∫_0 ^ 1（2-2R 2）RDR∫_0 ^（2π）的dφ

两点各：

BR />∫_0 ^（2π）的dφ=2π

∫_0 ^ 1（2-2R 2）RDR = R 2 - （1/2）R ^ 4 | _0 ^ 1 = 1/2
> V =（1/2）2π=π
所以体积为π。

消去z，(x^2+y^2)^2=2-(x^2+y^2), (x^2+y^2)^2+(x^2+y^2)-2=0,
{(x^2+y^2)-1][(x^2+y^2)+2]=0, 后者大于零，则
x^2+y^2=1, 即为积分区域D。
S1=∫∫√[1+(z')^2+(z')^2]dxdy =∫∫√(1+4x^2+4y^2)dxdy
=∫<0,2π>dt∫<0,1>√(1+4r^2)rdr = (π/4)∫<0,1>√(1+4r^2)d(1+4r^2)
=(π/6)(5√5-1);
S2=∫∫√[1+(z')^2+(z')^2]dxdy
=∫∫√[1+x^2/(2-x^2-y^2)+y^2/(2-x^2-y^2)]dxdy
=√2∫∫[1/√(2-x^2-y^2)]dxdy
=√2∫<0,2π>dt∫<0,1>1/√(2-r^2)rdr
= -π√2∫<0,1>1/√(2-r^2)d(2-r^2)=(4-2√2)π.
所求 S = S1+S2 = (π/6)(5√5-1)+(4-2√2)π.