2的2010次方的末位数

方法一：容易理解的方法
依次写出2^r的个位数，r从1递增。
2,4,8,6,（2,开始循环，循环周期为4)
而2010=4k+2
于是2^2010的个位数是上面一个循环内的第2个，也就是4.

备忘陪漏：循环数，周期(数)，循环(节|体)<长度|周期>

下面讲一种方法，你可以找到任意a^r除以m的余数。
当然对于较大较复杂的数值，只能说是计算量和计算时间上有所节省，这扰乱拿个牛角尖不去钻。对于一般情况，则通用无碍。

先说本题。
2^2010的末位数，就是它除以10的余数，可写成2^2010==x mod 10,0<=x<10
求这个x,或者说x=2^2010 mod 10.

方法一：见上。

方法二：推广而通行的方法。下面说的都是整数。
对于任意a,m及k>0, a^(φ(m)+k)=a^k mod m
这里φ(m)是与小于m且m互质的正整数的个数，数论中称欧拉函数。
上面的公式，是欧拉函数定理的推论，可以取代欧位函数定理。

例如，求2^2010的末两位数。
即求2^2010 mod 100
φ(100)=40。注：小于100与100互质的正整数列举:
{10q+r,r=1,3,7,9,q=0,1,...,9}
当然，φ(m)的计算有专门方法，再说有时候列举出来很麻烦。

又2010=40k+10
所以缓搭2^2010==2^10 mod 100 ==1024==24.

再问：2^2040的最后二位数字？
2040=40k+40,因为我们上面的公式a^(φ(m)+k)=a^k mod m要求k>0.
于是2^2040==2^40 mod 100==(2^10)^4=1024^4==24^4=576^2==(-24)^2=576==76
(外一则：这里我们还可以找到一些深刻内在规律，按下不表。)
也就是说，最后二位数字是76.

2^(4n+1)=...2
2^(4n+2)=...4
2^(4n+3)=...8
2^(4N+4)=...6
2010=2008+2=4n+2
所以末粗行改尾岩判数带答4

是4。2010除以4余2.2的次方规律是2、4、8、6、

利用配碧辩6×6的个位慧弊数还培缺是6找
2^2010=2^2*2^2008=4*16^502
个位数是由4×6产生，故是4

4