考虑an=3n²/(n²+1)=[(3n²+3)-3]/(n²+1)=3 -3/(n²+1)
则|an -3|=3/(n²+1)，
令3/(n²+1)<ε，则有 n²+1>3/ε，n²>3/ε -1.于是
对任意的ε>0(当然，ε<1)，存在δ=√(3/ε -1)，当n>δ时，
有|an -3|=3/(n²+1)<ε.
从而an是收敛的。
证明：
任取任意小的正数ε
由|3n²/(n²+1)-3|=3/(n²+1)<3/n<ε
解得n>3/ε
取N=[3/ε]+1
则当n>N时，恒有|3n²/(n²+1)-3|<ε
所以lim3n²/(n²+1)=3（n→∞）
所以数列an=3n²/(n²+1)收敛
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