a,b,c属于正实数，求证a3+b3+c3≥3abc

前面的三个3是表示立方

2024-12-22 01:19:52

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回答1：

a3＋b3＋c3－3abc＝(a＋b)3＋c3－3a2b－3ab2－3abc

＝(a＋b＋c)〔(a＋b)2－(a＋b)c＋c2〕－3ab(a＋b＋c)� （前面两项立方和公式，后面三项提公因式3ab。）

＝(a＋b＋c)〔a2＋2ab＋b2－ac－bc＋c2－3ab〕

＝(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2－ab－ac－bc)

＝ (a＋b＋c)〔(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2〕/2≥0

∴a3＋b3＋c3≥3abc

当且仅当a＝b＝c时取等号．

回答2：

a3+b3+c3-3abc
=(a+b)3-3a2b-3ab2+c3-3abc
=(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc
=(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c2]-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)[a2+2ab+b2-ac-bc+c2-3ab]
=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ac）
=(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]/2
>=0