分离变量法求解偏微分方程

分离变量法求解偏微分方程，题目见图片

2025-04-02 12:18:14

推荐回答（2个）

回答1：

题主给出的波动方程属于二阶偏微分方程。今以题（1）来说明用分离变量法求解的思路：

1、核心思想是利用迭加原理求得微分方程足够数目的特解（基本解组），再作这些特解的线性组合，使满足给定的初始条件。

2、假定可分离变量的非平凡解的特解

u(x,t)=X(x)T(t)

并要求它满足齐次边界条件u(x,0)=0，u(x,π)=0

3、分离变量后，得到

T"(t)+λa^2T(t)=0

X"(t)+λX(t)=0

4、求解X(x)的通解

5、确定待定系数λ

6、得到Uk(x,t)=Xk(x)*Tk(t)的特解

7、根据初始条件，利用傅里叶级数确定Ak和Bk（即题目中的A1，A2）

8、将Ak和Bk代入u(x,t)中，就得到偏微分方程以级数形式表示的解

附：求解过程

回答2：

爱神@爱佛费克斯。