设fx在[0 1]上连续，证明∫f2x dx≥(∫fxdx)2

∫f(x)dx=a,∫[f(x)-a]^2dx=∫[f(x)]^2dx-(∫f(x)dx)^2≥0

应用定积分中值定理：

存在ξ1∈（0，1）

使得 ∫(0→1)f(x)dx=f(ξdao1)(1-0)=f(ξ1) 

所以，f(ξ1)=f(2) 再次应用罗尔定理，

存在ξ∈（ξ1，2） 

【当然ξ∈（0，2）】 使得：f'(ξ)=0

一般定理

定理1：设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。

定理2：设f(x)区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。

定理3：设f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积。

牛顿-莱布尼茨公式

定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。

简单计算一下即可，答案如图所示

∫f(x)dx=a,∫[f(x)-a]^2dx=∫[f(x)]^2dx-(∫f(x)dx)^2≥0

应用定积分中值定理：

存在ξ1∈（0，1）

使得 ∫(0→1)f(x)dx=f(ξdao1)(1-0)=f(ξ1) 

所以，f(ξ1)=f(2) 再次应用罗尔定理，

存在ξ∈（ξ1，2） 

【当然ξ∈（0，2）】 使得：f'(ξ)=0

扩展资料：

定积分是把函数在某个区间上的图象[a,b]分成n份，用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形，再求当n→+∞时所有这些矩形面积的和。

用黎曼自己的话来说，就是把直角坐标系上的函数的图象用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形，然后把某个区间[a,b]上的矩形累加起来，所得到的就是这个函数的图象在区间[a,b]的面积。实际上，定积分的上下限就是区间的两个端点a,b。

参考资料来源：百度百科-定积分

：应用定积分中值定理： 存在ξ1∈（0，1），使得 ∫(0→1)f(x)dx=f(ξ1)(1-0)=f(ξ1) 所以，f(ξ1)=f(2) 再次应用罗尔定理， 存在ξ∈（ξ1，2） 【当然ξ∈（0，2）】 使得：f'(ξ)=0

∫f(x)dx=a,∫[f(x)-a]^2dx=∫[f(x)]^2dx-(∫f(x)dx)^2≥0