六年级奥数计算题1x2x1⼀3+2x3x1⼀4+3x4x1⼀5+-----98x99x1⼀100=?

∵n(n+1)/(n+2)
=[n(n+2)-n]/(n+2)
=n-n/n+2
=n-(n+2-2)/(n+2)
=(n-1)+2/n+2

∴1x2x1/3+2x3x1/4+3x4x1/5+-----98x99x1/100
=1x2/3+2x3/4+3x4/5+...+98x99/100
=(1-1)+2/3+(2-1)+2/4+(3-1)+2/5+...+(98-1)+2/100
=(0+1+2+...+97)+2(1/3+1/4+1/5+...+1/100)
=(1+97)*97/2+2(1+1/2+1/3+1/4+1/5+...+1/100-1-1/2)
=49*97+2*(1+1/2+1/3+...+1/100)-2*(1+1/2)
=4900-49*3+2*[ln(100+1)+γ]-3
=4750+2*(ln101+γ)
=4750+2*(4.615121+0.577216)
=4750+10.384674
=4760.384674

注：
1.调和级数S=1+1/2+1/3+……+1/n是发散的，因此原式无法给出确切的分数解。
1+1/2+1/3+1/4+...1/n = ln(n+1) + γ
2.γ叫做欧拉常数(Euler-Mascheroni constant)，γ=0.577215664901532860606....
目前还不知道它是有理数还是无理数。在微积分学中，欧拉常数γ有许多应用，如求某些数列的极限，某些收敛数项级数的和等。

参考：
1、调和级数：http://baike.baidu.com/view/1179291.htm
2、欧拉常数：http://baike.baidu.com/view/296190.htm

利害