为什么有第一类间断点的函数无原函数却有积分？

在某个区间上可导的函数，其导函数在该区间上没有第一类间断点。

可以通过拉格朗日中值定理证明上述定理(又叫做导函数连续定理)：若f(x)在x0的某个邻域U(x0；δ)内连续，在该去心邻域U°(x0；δ)上可导，且lim(x→x0)f'(x)存在，则f(x)在x0处也可导，并有f'(x0)=lim(x→x0)f'(x)。

而第一类间断点的定义是函数在某点左右极限都存在，但不等於该点函数值。

显然，如果导函数在某点左右极限存在且相等，那麼导函数在该点连续，该点就不可能是可去间断点。

扩展资料：

在第一类间断点中，有两种情况。左右极限相等，但不等于该点函数值f(x0)或者该点无定义时，称为可去间断点，如函数y=（x^2-1)/(x-1)在点x=1处；左右极限在该点不相等时，称为跳跃间断点，如函数y=|x|/x在x=0处。

在点x=x0没有定义；虽在x=x0有定义但lim（x→x0）f(x)不存在；虽在x=x0有定义且limf(x)（x→x0）存在，但lim f(x) ≠f(x0)（x→x0）时则称函数在x0处不连续或间断。

函数在该点可以无定义，且左极限、右极限至少有一个不存在，且函数在该点极限为∞。如函数y=tanx在点x=π/2处。

参考资料来源：百度百科--第一类间断点

这个问题问的很奇怪。首先，有第一类间断点的函数一定无原函数，但是有没有定积分却不一定。存在定积分的条件是函数有界且有有限个了断点。

不定积分强调的为有无原函数
而定积分几何方面来说强调的是fx能否与坐标轴围成面积
所以第一类间断点无不定积分因为不可导
而定积分存在的条件只要有界且有限个间断点都成立