将圆O：x2+y2=4上各点的纵坐标变为原来的一半 （横坐标不变），得到曲线C1、抛物线C2的焦点是直线y=x-1与

（1）∵圆O：x²+y²=4上各点的纵坐标变为原来的一半 （横坐标不变），得到曲线C₁，
∴C₁的方程为x²+（2y）²=4，整理，得：

x2

4

+y2=1．
∵抛物线C₂的焦点是直线y=x-1与x轴的交点（1，0），
∴C₂的方程为y²=4x．（4分）
（2）由题意知直线l的斜率不存在时，不满足题意，（6分）
当直线l斜率存在时，假设存在直线l过抛物线焦点F（1，0），
设其方程为y=k（x-1），与C₁的交点坐标为M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
由

x2 4 +y2=1 y=k(x-1)

，消掉y，得（1+4k²）x²-8k²x+4（k²-1）=0，（8分）
于是x₁+x₂=

8k2

1+4k2

，x₁x₂=

4(k2-1)

1+4k2

，①
y₁y₂=k（x₁-1）×k（x₁-1）=k²[x₁x₂-（x₁+x₂）+1]
即y₁y₂=k²（

4(k2-1)

1+4k2

-

8k2

1+4k2

+1）=-

3k2

1+4k2

，②（10分）
由

OM

⊥

ON

，即

OM

?

ON

=0，得x₁x₂+y₁y₂=0（*），
将①、②代入（*）式，
得

4(k2-1)

1+4k2

-

3k2

1+4k2

=

k2-4

1+4k2

=0，解得k=±2，（11分）
∴存在直线l满足条件，且l的方程为：y=2x-2或y=-2x+2．（12分）．