判别式法求值域，为什么用一元二次方程及其判别时能够得出正确的答案范围？

判别式法求值域适用的函数类型:函数为分式函数，分母为二次式，分子的次数不超过2次，且满足函数的定义域是全体实数
这类函数去分母整理后可得关于x的一元二次方程，根据方程在实数范围内有解可得判别式必然≥0，而判别式≥0对应y的范围（即值域）

函数存在，则x,y有意义存在，x最高次数为2次，求y的范围。①y≠0时可转化成以含有y的系数的式子为系数的关于x的一元二次方程，x存在，则根据一元二次方程有解的条件，即判别式△≥0；②y＝0时，x＝1，函数存在有意义。综上y∈(0.5，1.5)。
也可分类讨论，x≠0时再使用均值不等式得出范围，再综合。

函数的值域简单说就是在自变量的定义域内因变量y的取值范围，也就是说值域不能离开定义域。这个题原函数的定义域明显是x∈R，那么想求y的范围，就必须找出适合于我们已知的范围，变换y和x的关系式，比如二次函数式、反函数、换元法之类。
题设已知y是x的函数，那么x和y必然同时存在，缺一不可，从（y-1）x²-x+y-1=0，且x∈R可知，y必然存在，那么判别式△=1-4（y-1）²≥0，解得1∈[1/2，3/2]。
（你的图里面写的二次函数错了，但最后答案对了）

(1)设x=tanθ，则
y=(1+x+x²)/(1+x²)
=(1+tanθ+tan²θ)/(1+tan²θ)
=1+(1/2)sin2θ.
而sin2θ∈[-1，1]，
∴y∈[1/2，3/2]。

(2)设x-1=sinθ，则
y=x+√[x(2-x)]
=(x-1)+1+√[1-(ⅹ-1)²]
=1+sinθ+cosθ
=1+√2sin(θ+π/4)
∵sin(θ+π/4)∈[-1，1]，
∴y∈[1-√2，1+√2]。