高数-多元函数

　　多元函数，设D为一个非空的n 元有序数组的集合， f为某一确定的对应规则。若对于每一个有序数组（x1,x2,…,xn）∈D，通过对应规则f，都有唯一确定的实数y与之对应，则称对应规则f为定义在D上的n元函数。记为y=f（x1,x2,…,xn） ，（x1,x2,…,xn）∈D 。 变量x1,x2,…,xn称为自变量；y称为因变量。（xi,其中i是下标。下同）当n=1时，为一元函数，记为y=f(x),x∈D;当n=2时，为二元函数，记为z=f(x,y),(x,y)∈D.图象如图。二元及以上的函数统称为多元函数。
　　其他定义：
　　设D是n维空间的一个点集，f为某一确定的对应法则。如果对于每个点P(x1,x2,…,xn)∈D，变量z按照对应法则f总有唯一确定的值和它对应，则称z是变量x1,x2,…,xn的n元函数。记为z=f（x1,x2,…,xn），(x1,x2,…,xn) ∈D，或z=f（P），P∈D。　若函数f的定义域D是实数集R的一个子集，即只依赖于一个自变量，就说f是一元函数。若函数f的定义域D是n个R的笛卡尔（R. Descartes）积R×R×…×R=R^n的子集,即依赖于n个独立自变量，就说f是n元函数。
　　当n≥2时，n元函数泛称为多元函数。
　　二元函数的定义域通常是由平面上的一条或几条光滑曲线所围成的平面区域，围成区域的曲线称为区域的边界，包括边界在内的区域称为闭区域，否则称为开区域。
　　三要素：

　　定义域
　　集合D={（x1,x2,…,xn）| y=f（x1,x2,…,xn）}，称为函数的定义域，也可以记为D（f）或Df（f是下标）。

　　对应规则
　　对应规则（也称对应关系、对应法则，对应规律）f可以用数学表达式（包括解析式）、图象、表格等表示。

　　值域
　　对于（x10,x20,…,xn0）∈D,所对应的y值，记为y0=f（x10,x20,…,xn0）称为当（x1,x2,…,xn）=（x10,x20,…,xn0）时，函数y=f（x1,x2,…,xn）的函数值。
　　全体函数值的集合{y∣y=f（x1,x2,…,xn），（x1,x2,…,xn）∈D}称为函数的值域，记为Z或Z（f）。

设F=(x^2+y^2+z^2)^2-a^2(x^2+y^2-z^2)
F'x=4x(x^2+y^2+z^2)-2a^2x
F'y=4y(x^2+y^2+z^2)-2a^2y
F'z=4z(x^2+y^2+z^2)+2a^2z
z'x=-[4x(x^2+y^2+z^2)-2a^2x]/[4z(x^2+y^2+z^2)+2a^2z]
z'y=-[4y(x^2+y^2+z^2)-2a^2y]/[4z(x^2+y^2+z^2)+2a^2z]
令z'x=0, z'y=0：
4x(x^2+y^2+z^2)-2a^2x=0
4y(x^2+y^2+z^2)-2a^2y=0
联立求得驻点：（0，0）
代入隐函数方程：z^4=-a^2z^2
∴z=z（x,y）的极值z=0

高数多元函数求极值上有介绍的