已知抛物线y=x2+kx+k-1．（1）求证：无论k是什么实数，抛物线与x轴相交于一定点；（2）设抛物线与y轴交于

解答：（1）证明：令y=0，有x²+kx+k-1=0，
解得x₁=-1，x₂=1-k，
∴抛物线与x轴相交于一定点为（-1，0），

（2）解：∵x_A＜x_B＜0，
∴1-k＜0，即k＞1，
①若-1＜1-k，则k＜2，
∴1＜k＜2，这时x_A=-1，x_B=1-k，
∴AB=x_B-x_A=1-k-（-1）=2-k，且OC=k-1，
∴S_△ABC=

1

2

(2?k)(k?1)＝6，
整理，得k²-3k+14=0，
∵b²-4ac=（-3）²-4×14＜0，
∴此方程无实数解，即-1＜1-k不成立；
②若1-k＜-1，则k＞2，
∴这时x_A=1-k，x_B=-1，
∴AB=x_B-x_A=-1-（1-k）=k-2，且OC=k-1，
∴S_△ABC=

1

2

(k?2)(k?1)＝6，
整理，得（k-5）（k+2）=0，
∴k₁=5，k₂=-2（不合，舍去），
∴所求二次函数的表达式为y=x²+5x+4．

（3）解：如图，存在一点D，使得以A、C、D为顶点的三角形与△ABC相似，
由（2）知，A（-4，0），B（-1，0），C（0，4），
∴AB=3，OC=4，AC=4

2

，
由于∠CAO=∠OCA=45°，
所以只有△CAD∽△ABC，
于是有

CD

AC

＝

AC

AB

，
∴CD＝

AC2

AB

＝

32

3

，
OD=CD-OC=

32

3

?4＝

20

3

，
∴D点坐标为（0，?

20

3

），
∴R=

4

3

17

．