已知{a n }是公差为d的等差数列，它的前n项和为S n ．等比数列{b n }的前n项和为T n ，且S 4 =2S 2 +4，

2024-12-19 15:58:56

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回答1：

（Ⅰ）∵S₄ =2S₂ +4，
∴4a₁ +

3×4

d=2（2a₁ +d）+4，解得d=1．…3
（Ⅱ）∵等差数列{a_n }的公差d=1＞0，S_n 要取得最小值S₈ ，必须有

a 8 ≤0

a 9 ≥0

，即

a 1 +7d≤0

a 1 +8d≥0

．
求得-8≤a₁ ≤-7，
∴a₁ 的取值范围是[-8，-7]．…4
（Ⅲ）由于等比数列{b_n }满足 b 2 =

， T 2 =

，即

b 1 q=

b 1 + b 1 q=

，解得b₁ =

，q=

，
∴ T n =

[1- (

) n ]

[1-(

) n ] ，又S_n =na₁ +

n（n-1）d=

n² ，…2
则方程S_n +T_n =55转化为：n² +[1- (

) n ]=110．
令：f（n）=n² +1- (

) n ，知f（n）单调递增，
当1≤n≤10时，f（n）≤100+[1- (

) n ]＜100+1=101，
当n≥11时，f（n）≥11² +[1- (

) 11 ]＞11² =121，所以方程S_n +T_n =55无解．…3