已知函数f(x)=│x+1│–│x–2│

因为这里书写不便，故将我的答案做成图像贴于下方，谨供楼主参考。为避免图片过小，特将我的解答做成两张图片（若图像显示过小，点击图片可以放大）

(1). f(x)=∣x+1∣-∣x-2∣≧1的解集
解：当x≦-1时有-(x+1)+(x-2)=-3<1，故此段无解；
当 -1≦x≦2时有x+1+(x-2)=2x-1≧1，得x≧1；即1≦x≦2为此段的解；
当x≧2时，有x+1-(x-2)=3>1，故x≧2为此段的解；
[1，2]∪[2，+∞)=[1，+∞)就是原不等式的解集。
(2）若不等式f(x)≥x²–x+m的解集非空，求m的取值范围.
解：∣x+1∣-∣x-2∣≧x²–x+m
∵ -3≦∣x+1∣-∣x-2∣≦3；
【注：∣x+1∣是动点x到定点-1的距离；∣x-2∣是动点x到定点2的距离；当x<-1，也就是动
点x在-1的左边时，这两个距离的差≡-3; 当x>2，也就是动点x在2的右边时，这两距离差
≡3；当-1≦x≦2，即动点x在区间[-1，2]里时，这两个距离差=2x-1】。
x²-x+m=(x-1/2)²-(1/4)+m≧m-(1/4)，即其最小值为m-(1/4)；为使所示不等式的解集为
非空集，就应使参数m满足不等式：-3≦m-(1/4)≦3；即-11/4≦m≦13/4；这也就是m的取值
范围。

解析：
附函数图
f(x)=|x+1|-|x-2|

这样

|a-b|≤|a|+|-b|=|a|+|-1|*|b|=|a|+|b|

||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|