求极限的问题

一、楼主应该是还没有理解极限证明的本质究竟是什么，这无可非议。
大学教师、教授，教微积分一辈子，穿凿附会一辈子，比比皆是。
大学教材，绝大多数都是垃圾教材，学生不被误导实在太难太难。
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二、楼主的题图上的 a 是数列的极限，是指 x₁、x₂、x₃、x₄、、、、
越来越趋向于 a，无止境地趋向于 a，跟 a 的差值，越来越趋于 0。
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三、关于极限证明的方法，用最通俗的话解答如下，楼主如有任何疑问，
欢迎追问，有问必答，有疑必释，直到满意。
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总体来说：

极限的证明过程，就是
一个吵架的过程；
一个理性争辩、逻辑辩论的过程；
一个穷举法的精简过程。
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下面以最通俗的语言，讲解一下证明的逻辑过程：
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1、我说：Xn的极限就是a，可是你不信。
2、你说：Xn与 a 有差值啊。
3、我问你：差值多少你能接受？你给出一个很小的数吧。
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你给出了一个很小很小的数，譬如0.0000123。
我计算了一下，我说当N大于100时(比方)，两者之差就小于0.0000123了。
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你不服，又给出一个更小的数，譬如0.0000000000456。
我又计算了一下，我说当N大于1000时(也是比方)，两者之差就小于0.0000000000456了。
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你依旧不服，你又给了更小更小的数，我又算；
你再给，我再算；
你再再给，我再再算；
、、、、、、

我说，算了吧，你给一个象征性的很小很小的数的代号，
我算一个用你的代号表示的公式给你，你自己计算，自己验证吧。
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你给的这个数就是ε，我就给你一个公式，算出了N，从N后面起，差值就小于 ε。
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说到这里，你明白极限证明的论证过程了吗？
这个过程，是无穷列举理论化的过程；
这个过程，强调的是趋势，是无休止的趋势，是无止境的趋势，英文是tendency。
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“任给”二字，体现的是 ε 可以无限地更改，无限的反悔；
根据 ε 算出来的 N，只是一个具体的数，N 之后的任何数，都可以作为 N；
这就是放大缩小的理论依据，只要能确定一个 N，从 这个 N 之后的任何数
都是 n。
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【请记住】：
N、n 都仅仅只是项数！是 number of terms ！
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如果明白了，那就恭喜你！你已经掌握极限证明的真谛了！可喜可贺！
如果不明白，那也恭喜你！你终于体察出我们落后的原因！可喜可贺！
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我们祖先，不落后人，他们也有悖论，也有极限思维。
我们后人，没有超越，我们没有开拓，落后始于极限。
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如有疑问，欢迎追问，有问必答。