三角函数不等式的证明：在三角形ABC中，证明：sinA+sinB+sinC<=二分子三倍的根号三

证明：不妨设∠C为定值，则sinA+sinB+sinC=2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]+sinC=2cos(C/2)cos[(A-B)/2]+sinC.∵∠C为定值，∴sinC,cos(C/2)也均为定值，∴要使上式取得最大值，仅需cos[(A-B)/2]取得最大值，而cos[(A-B)/2]max=1.此时应有A=B.∴当∠C为定值时，仅当A=B时，上式取得最大值。同理可知，当∠A或∠B为定值时，上式取得最大值的条件是B=C,或A=C.∴当A=B=C=60º时，上式取得最大值=(3√3)/2.∴在⊿ABC中，有sinA+sinB+sinC≤(3√3)/2.

学了琴生不等式直接用凸函数性质做.

没学用和差化积。

sinA+sinB+sinc=2sin(A+B/2)cos(A-B/2)+2sinC/2cosC/2

=2sin(A+B/2)cos(A-B/2)+2sinC/2sin(A+B/2)
=2sin(A+B/2)cos(A-B/2)+2sin(C/2)sin(A+B/2)
=2sin(A+B/2)(cos(A-B/2)+sin(C/2))

<=2cosC/2(1+sinC/2)) (A=B取等）
令f(C)=2cosC/2(1+sinC/2))
f'(C)=2(sinC/2)^2+sinC/2-1=0
C=60有极大值,为3/2(根3).

所以C=A=B=60取最大值

解析几何的证:
设A<=B<=C,
做出y=Sinx在[0,pi]之间图象构造三角形EFG，
E(A,SinA) F(B,SinB) G(C,SinC)
则三角形重心G坐标为((A+B+C)/3,(SinA+SinB+SinC)/3),
由于G在图象下方有
(SinA+SinB+SinC)/3
<=Sin((A+B+C)/3),
SinA+SinB+SinC<=3根3/2