1×2+2×3+3×4+4×5+5×6.......n(n+1）

具体回答如下：

1×2×3+2×3×4+3×4×5+......+n(n+1)(n+2)

=1/4【1×2×3×4-0×1×2×3】+1/4【2×3×4×5-1×2×3×4】+1/4【3×4×5×6-2×3×4×5】+......+

1/4【n(n+1)(n+2)（n+3)-(n-1)n(n+1)(n+2)】

=1/4×n(n+1)(n+2)(n+3)

混合运算：

如果一级运算和二级运算，同时有，先算二级运算。如果一级，二级，三级运算（即乘方、开方和对数运算）同时有，先算三级运算再算其他两级。

如果有括号，要先算括号里的数（不管它是什么级的，都要先算）。在括号里面，也要先算三级，然后到二级、一级。

若n为奇数；
1×2+2×3+3×4+4×5+5×6.......n(n+1）
=2×(1+3)+4×(3+5)+...+(n-1)×(n-2+n)+n(n+1)
=2×4+4×8+..+(n-1)×2(n-1)+n(n+1)
=2×[2^2+4^2+...+(n-1)^2]+n^2+n
=8×[1^2+...+(n-1)^2/4]+n^2+n 注：1^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6。
=n(n-1)(n+1)/3+n^2+n
=n^3/3+n^2+2n/3
若n为偶数；
1×2+2×3+3×4+4×5+5×6.......n(n+1）
=2×(1+3)+4×(3+5)+...+n×(n-1+n+1)
=2×[2^2+4^2+...+n^2]
=8×[1^2+...+n^2/4]
=n(n+1)(n+2)/3
=n^3/3+n^2+2n/3

综上：1×2+2×3+3×4+4×5+5×6.......n(n+1）=n^3/3+n^2+2n/3。

原式=1×2+2×3+3×4+4×5+5×6……n(n+1）+[2+3+4+……+(n+1)]-[2+3+4+……+(n+1)]
=2²+3²+……+(n+1)²-[2+3+4+……+(n+1)]
=1²+2²+3²+……+(n+1)²-[1+2+3+4+……+(n+1)]
=(n+1)(n+2)(2n+3)/6-(n+1)(n+2)/2
=n(n+1)(n+2)/3

原式=(1*1+2*2+3*3……+n*n）+（1+2+3……+n)
=n(n+1)(2n+1)/6 + n(n+1)/2

解 公式 Sn=n(A1+An)/2

∵ A1=2 An=n(n+1）
得到 Sn=n[n(n+1)+2]/2
=n(n²+n+2)/2