高等数学不定积分， ∫1⼀（x눀+x+1）눀dx=？ 详细过程，多谢！

∫ 1/(x²+x+1)² dx= 4/(3√3)*arctan[(2x+1)/√3] + (2x+1)/[3(x²+x+1)] + C。C为积分常数。

解答过程如下：

∫1/(x²+x+1)² dx

= ∫1/[(x+1/2)²+3/4]² dx

令x+1/2=√3/2*tanθ,dx=√3/2*sec²θ dθ

sinθ=(x+1/2)/√(x²+x+1),cosθ=(√3/2)/√(x²+x+1)

原式= (√3/2)∫sec²θ/(3/4*sec²θ)² dθ

= (√3/2)(16/9)∫sec²θ/sec⁴θ dθ

= 8/(3√3)*∫cos²θ dθ

= 4/(3√3)*∫(1+cos2θ) dθ

= 4/(3√3)*(θ+1/2*sin2θ) + C

= 4/(3√3)*arctan[(2x+1)/√3] + (2x+1)/[3(x²+x+1)] + C

根据牛顿-莱布尼茨公式，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。这里要注意不定积分与定积分之间的关系：定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

扩展资料

定理

一般定理

定理1：设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。

定理2：设f(x)区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。

定理3：设f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积。

牛顿-莱布尼茨公式

定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。

配方