不定积分第二类换元法

换元的根本目的是要将式子中原本的根号去掉。
比如：
被积函数含根式√(a^2-x^2），令 x = asint，源式化为 a*cost。
利用第二类换元法化简不定积分的关键仍然是选择适当的变换公式 x = φ(t)。此方法主要是求无理函数(带有根号的函数)的不定积分。由于含有根式的积分比较困难，因此我们设法作代换消去根式，使之变成容易计算的积分。
下面我简单介绍第二类换元法中常用的方法：
（1）根式代换：被积函数中带有根式√(ax+b），可直接令 t =√(ax+b）；
（2）三角代换：利用三角函数代换，变根式积分为有理函数积分，有三种类型：
被积函数含根式√(a^2-x^2），令 x = asint
被积函数含根式√(a^2+x^2），令 x = atant
被积函数含根式√(x^2-a^2），令 x = asect
注：记住三角形示意图可为变量还原提供方便。

(4)

let
lnx= tanu
(1/x) dx = (secu)^2 du
∫dx/[x.lnx.√(1+(lnx)^2) ]
=∫(secu)^2 du/[tanu.secu ]
=∫(secu/tanu) du
=∫cscu du
=ln|√(1+(lnx)^2)/lnx - 1/lnx| +C
=ln|√(1+(lnx)^2) -1| -ln|lnx| +C
(6)
x^2+2x+3 = (x+1)^2 +2
let
x+1=√2 tanu
dx=√2 (secu)^2 du
∫(3x+2)/√(x^2+2x+3) dx
= (3/2) ∫(2x+2)/√(x^2+2x+3) dx -∫dx/√(x^2+2x+3)
=3√(x^2+2x+3) -∫√2 (secu)^2 du/[√2.secu]
=3√(x^2+2x+3) -∫ secu du
=3√(x^2+2x+3) -ln|secu + tanu | +C'
=3√(x^2+2x+3) -ln|√(x^2+2x+3) /√2 + (x+1)/√2 | +C'
=3√(x^2+2x+3) -ln|√(x^2+2x+3) + (x+1) | +C

(*^▽^)/★*☆

等等我们还只教了第一类…