51问答网 > 设随机变量X1与X2相互独立,且X1-N(μ,σ^2),X2-N(μ,σ^2).令X=X1+X2, Y=X1-X2，求D(X)

设随机变量X1与X2相互独立,且X1-N(μ,σ^2),X2-N(μ,σ^2).令X=X1+X2, Y=X1-X2，求D(X)

D(X)=2σ^2+2σ^2pxy为什么pxy=0

2025-03-13 00:34:28

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回答1：

X~N(0,σ^2)E(X1+X2)=EX1+EX2=0D(X1+X2)=DX1+DX2=2σ^2X1+X2~N(0,2σ^2)同理：X1-X2~N(0,2σ^2)所以1/√2σ(X1+X2)~N(0,1)1/√2σ(X1-X2)~N(0,1)所以1/2σ^2(X1+X2)^2~X^2(1)X^2(n)代表自由度为n的卡方分布同理1/2σ^2(X1-X2)^2~X^2(1)令A=1/2σ^2(X1+X2)^2B=1/2σ^2(X1-X2)^2所以(X1+X2)^2/(X1-X2)^2=1/2σ^2(X1+X2)^2/1/2σ^2(X1-X2)^2=A/B=(A/1)/(B/1)而这就是F(1,1)分布的定义所以(X1+X2)^2/(X1-X2)^2~F(1,1)

回答2：

因为
X1与X2相互独立
所以,X,Y也是相对独立的。