求z=yx^2(4-x-y)的极值

2024-12-31 01:08:05

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回答1：

z=yx^2(4-x-y)
=4y*½X*½X*(4-x-y)
≤4*{[y+½X+½X+(4-x-y)]／4}^4
≤4
就是说z 的最大值为4.
当y=½X=4-x-y时z取得最大值
就是，当x=1.6,y=0.8时z取得最大值4.
这里，利用到了一个重要的不等式：
abcd≤[(a+b+c+d)/4]^4
当a=b=c=d时取等号。

回答2：

Z = 4x²y - x³y - x²y²
Z'x = 8xy - 3x²y - 2xy² = 0 xy(8-3x-2y) = 0
Z'y = 4x² - x³ - 2x²y = 0 x²(4-x-2y) = 0
解出：(x,y) = (0,0); (2,1)
Z(0,0) = 0 Z(2,1) = 4(4-2-1) = 4
Z"xx＝(8y-6xy-2y²) Z"xy=(8x-3x²-4xy) Z"yy=-2x²
Z"xx(2,1)=-6=A Z"xy(2,1)=-4=B Z"yy(2,1)=-8=C B²-AC = 16-48 < 0
极大值：Z(2,1) = 4