最大公因数是1，说明他们三者之间不存在共有的素因子。而两两之间不互质，又说明两两之间存在共有的素因子。
假设要求的3个自然数分别是A,B,C。其中：
x = A,B的最大公约数
y = B,C的最大公约数
z = C,A的最大公约数
任选两个，比如 x,y，则必然有 x,y 互质。否则的话设 d = x,y 的最大公约数（d>1），则 d 同时是 A,B 和 B,C 的约数，这和 A,B,C 互质相矛盾。
因此容易得出结论：x, y, z 两两互质。
构造结果：
为了使结果最小，可以令 x, y, z 为 3 个不同的素数。最小的3个素数分别是2，3，5。那么可以设：
(1). A,B的最大公约数x = 2
(2). B,C的最大公约数y = 3
(3). C,A的最大公约数z = 5
由 (1),(2) 知，B至少包含因子2,3，所以B最小是 2*3 = 6
由 (2),(3) 知，C至少包含因子3,5，所以C最小是 3*5 = 15
由 (3),(1) 知，A至少包含因子5,2，所以A最小是 5*2 = 10
综上所述，A+B+C的最小值应该是 6+15+10 = 31
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