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利用定积分的几何意义证明∫(上1,下0)sqrt(1-x^2)dx>∫(上1下0)xdx

要详细过程，谢谢

2024-12-16 02:00:40

推荐回答（3个）

回答1：

几何意义的话，因为y=sqrt(1-x^2)，0=第一个积分代表的是y=sqrt(1-x^2), 在x 取0到1的部分，与x轴，y轴形成的图形面积，，，也就x^2+y^2=1在第一象限的四分之一个圆周的面积=π/4
第二个是y=x与x轴，以及x=1在第一象限构成的图形面积=1/2
所以第一个>第二个

回答2：

解：根据题意：设√(1-x^2)=y，则有x^2+y^2=1, 再由0≤x≤1,可得0≤y≤1，所以，x,y是单位圆位于第一象限的部分，因此该积分是第一象限的单位圆面积，S1=π/4。

而∫(1.0)xdx表示的是直线y=x和直线y=0在0≤x≤1,0≤y≤1的区域围成的面积
即边长为1的等腰直角三角形的面积，S2=1/2<π/4

所以∫(上1,下0)sqrt(1-x^2)dx>∫(上1下0)xdx，得证
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回答3：

解：根据题意：设√(1-x^2)=y，则有x^2+y^2=1,
再由0≤x≤1,可得0≤y≤1，所以，x,y是单位圆位于第一象限的部分，因此该积分是第一象限的单位圆面积，S1=π/4